จากโจทย์กำหนดให้ $w^{23}=1$ เมื่อ $w\not= 1$
จึงได้ว่า $w=\cos{\frac{2k\pi}{23}}+i\sin{\frac{2k\pi}{23}}$ เมื่อ $k=1,2,...,22$ และ $1+w+w^2+...+w^{22}=0$
พิจารณา $\left\{w,w^2,...,w^{22}\right\}=\left\{w^t,w^{2t},...,w^{22t}\right\}$ เมื่อ $t$ เป็นจำนวนเต็มที่หารด้วย $23$ ไม่ลงตัว จะได้ว่า
$$\sum_{n = 0}^{22}\frac{1}{w^{2n}+w^n+1}=\frac{1}{3}+\sum_{n = 1}^{22}\frac{1}{w^{2n}+w^n+1} =\frac{1}{3}+\sum_{n = 1}^{22}\frac{1}{w^{2nt}+w^{nt}+1}----(1)$$
ให้ $t=8$ พิจารณาค่าของ $\displaystyle{\frac{1}{w^{2nt}+w^{nt}+1}}$
$\displaystyle{\frac{1}{w^{2nt}+w^{nt}+1}=\frac{1}{w^{16n}+w^{8n}+1}=\frac{w^{8n}-1}{w^{24n}-1}}$
ซึ่งจาก $w^{23}=1$ จะได้ว่า $w^{24n}=w^n$
ดังนั้น$\displaystyle{\frac{1}{w^{2nt}+w^{nt}+1}=\frac{w^{8n}-1}{w^n-1}}=w^{7n}+w^{6n}+...+w^n+1$ แทนในสมการ $(1)$ จะได้ว่า
$\displaystyle{\sum_{n = 0}^{22}\frac{1}{w^{2n}+w^n+1}=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{22}(w^{7n}+w^{6n}+...+w^n+1)}$
$\displaystyle{=\frac{1}{3}+\sum_{n=1}^{22}w^{7n}+\sum_{n=1}^{22}w^{6n}+\sum_{n=1}^{22}w^{5n}+\sum_{n=1}^{22}w^{4n}+\sum_{n=1}^{ 22}w^{3n}+\sum_{n=1}^{22}w^{2n}+\sum_{n=1}^{22}w^{n}+\sum_{n=1}^{22}1}$
$\displaystyle{=\frac{1}{3}+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+(-1)+22}$
$$\therefore\sum_{n = 0}^{22}\frac{1}{w^{2n}+w^n+1}=\frac{46}{3} $$
ปล. ที่มาโจทย์ข้อนี้มาจาก USA Harvard-MIT Mathematics Tournament 2013 นะครับ
|