3. จงหา $P(x)$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x^2+1\mid P(x)$ และ $x^3+x+1\mid P(x)+1$
จากที่ $x^3+x+1\mid P(x)+1$ แสดงว่า $P(x) = (x^3+x+1)Q(x)-1$ นั่นคือ $$P(x)= (x(x^2+1)+1)Q(x)-1 = x(x^2+1)Q(x)+Q(x)-1 $$ แต่เรารู้ว่า $x^2+1\mid P(x)$ ดังนั้น $x^2+1\mid Q(x)-1$ นั่นคือ $Q(x)=(x^2+1)R(x)+1$ ดังนั้น $$ \begin{array}{rcl} P(x) & = & (x^3+x+1)Q(x)-1 \\ & = & (x^3+x+1)((x^2+1)R(x)+1)-1 \\ & = & (x^3+x+1)(x^2+1)R(x) +x^3+x \end{array} $$
|