ข้อสอบการแข่งขันคณิตศาสตร์เพชรยอดมงกุฎ ครั้งที่ 16
รอบเจียระไนเพชร ระดับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4-6
1. ให้ $A$ และ $B$ เป็นเซตซึ่ง $A-B$ เป็นเซตจำกัด จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ข้อความที่ 1 : $A$ เป็นเซตจำกัด
ข้อความที่ 2 : $A$ เป็นเซตอนันต์
ข้อความที่ 3 : $B$ เป็นเซตจำกัด
ข้อความที่ 4 : $B$ เป็นเซตอนันต์
ข้อความที่ 5 : คอมพลีเมนต์ของ $A-B$ เป็นเซตอนันต์
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1) ไม่มีข้อความใดถูก
2) มี 1 ข้อความถูก
3) มี 2 ข้อความถูก
4) มี 3 ข้อความถูก
2. ให้ $A, B$ และ $C$ เป็นเซตใดๆ กำหนดสัญลักษณ์ ${A}\subseteq {B}$ แทน $A$ เป็นเซตย่อยของ $B$
และ $P(C)$ แทนเซตของเซตย่อยทั้งหมดของ $C$
ข้อความในข้อใดต่อไปนี้ไม่จริง
1) ${A}\subseteq {B}$ ก็ต่อเมื่อ ${A}\cup {B}=B$
2) ${A}\subseteq {B}$ ก็ต่อเมื่อ ${A}\cap {B}=A$
3) ถ้า ${P(A)}\cap {P(B)}={\varnothing }$ แล้ว $A=B$
4) ${P(A)}\cup {P(B)}=P(A\cup B)$
3. กำหนดให้ 1 2 และ 3 เป็นรากของพหุนาม $Q(x)$
และ $Q(x)$ หาร $P(x)=x^5+ax^3+bx^4+cx^2+dx+e$ ได้ $x^2+2$
จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. $[{\left|\,a\right|},{\left|\,b\right|}]<[{\left|\,d\right|},{\left|\,e\right|}]$
ข. $2c+e-48=0$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1) ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ถูก
2) ข้อ ก. ถูก และ ข้อ ข. ผิด
3) ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ถูก
4) ข้อ ก. ผิด และ ข้อ ข. ผิด
4. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้
(ก) เหตุ : ป๊อป มีน้ำหนักมากกว่า 100 กิโลกรัม
ใครก็ตามที่มีน้ำหนักมากกว่า 100 กิโลกรัม ถูกจัดว่าเป็นคนอ้วน
สรุป : คนที่มีน้ำหนักมากกว่า 100 กิโลกรัม บางคนถูกจัดว่าเป็นคนอ้วน
(ข) เหตุ : คนที่ชอบออกกำลังกายทุกคนเป็นคนมีสุขภาพร่างกายที่แข็งแรง
คนที่สุขภาพร่างกายแข็งแรงทุกคนเป็นคนที่ชอบเล่น Sudoku
สรุป : มีคนที่ชอบออกกำลังกายและชอบเล่น Sudoku
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1) ทั้ง (ก) และ (ข) สมเหตุสมผล
2) (ก) สมเหตุสมผล แต่ (ข) ไม่สมเหตุสมผล
3) (ก) ไม่สมเหตุสมผล แต่ (ข) สมเหตุสมผล
4) ทั้ง (ก) และ (ข) ไม่สมเหตุสมผล
5. พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี้
(ก) เหตุ : ถ้าดาวิการำที่ศาลย่านาควัดมหาบุศย์ แล้วพี่มากพระโขนงทำรายได้ทะลุ 500 ล้านบาท
พี่มากพระโขนงทำรายได้ทะลุ 500 ล้านบาท
สรุป : ดาวิการำที่ศาลย่านาควัดมหาบุศย์
(ข) เหตุ : คุณชายพุฒิภัทรชอบกรองแก้วหรือคุณชายพุฒิภัทรชอบหม่อมหลวงมารตี
คุณชายพุฒิภัทรชอบกรองแก้ว
สรุป : คุณชายพุฒิภัทรไม่ชอบหม่อมหลวงมารตี
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1) ทั้ง (ก) และ (ข) สมเหตุสมผล
2) (ก) สมเหตุสมผล แต่ (ข) ไม่สมเหตุสมผล
3) (ก) ไม่สมเหตุสมผล แต่ (ข) สมเหตุสมผล
4) ทั้ง (ก) และ (ข) ไม่สมเหตุสมผล
6. เศษที่เหลือจากการหาร ${11}^{2556}$ ด้วย 2013 มีค่าเท่ากับข้อใด
1) 540
2) 550
3) 560
4) 570
7. ให้ p, q, r, s และ t เป็นประพจน์ใดๆ พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้
(ก) $(p\wedge q\wedge r\wedge s)\rightarrow (p\vee t)$
(ข) $[(p\vee q\vee r)\wedge (p\vee t\vee \sim q)\wedge (p\vee \sim t\vee r)]\leftrightarrow [p\vee (r\wedge (t\vee \sim q))]$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1) ทั้ง (ก) และ (ข) เป็นสัจนิรันดร์
2) (ก) เป็นสัจนิรันดร์ แต่ (ข) เป็นข้อขัดแย้ง
3) (ก) เป็นข้อขัดแย้ง แต่ (ข) เป็นสัจนิรันดร์
4) ทั้ง (ก) และ (ข) เป็นข้อขัดแย้ง
8. ให้ $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $a_1<a_2<a_3<a_4<a_5$ และ
$\{a_i+a_j\left|\,\right. i,j \in \{1,2,3,4,5\}$ และ $i\not= j\}=\{0,1,2,4,7,8,9,10,11,12\}$
ค่าของ $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$ เท่ากับข้อใด
1) 18
2) 17
3) 16
4) 15
9. พิจารณาข้อความต่อไปนี้
(ก) $\{1,2,3,...,96\}$ สามารถแบ่งออกเป็น 32 สับเซต ที่ไม่มีสมาชิกร่วมกันแต่จำนวนสมาชิกเท่ากัน
และผลรวมของสมาชิกมีค่าเท่ากัน
(ข) $\{1,2,3,...,99\}$ สามารถแบ่งออกเป็น 33 สับเซต ที่ไม่มีสมาชิกร่วมกันแต่จำนวนสมาชิกเท่ากัน
และผลรวมของสมาชิกมีค่าเท่ากัน
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
1) ทั้ง (ก) และ (ข) เป็นจริง
2) (ก) เป็นจริง แต่ (ข) เป็นเท็จ
3) (ก) เป็นเท็จ แต่ (ข) เป็นจริง
4) ทั้ง (ก) และ (ข) เป็นเท็จ
10. ให้ $A=\{(p,q,r)\in N\times N\times N \left|\,\right. p,q,r$ เป็นจำนวนเฉพาะ และ $(p+1)(q+2)(r+3)=4pqr\}$
และ $B=\{(p,q,r)\in A\left|\,\right. p=2$ หรือ $r=2\}$
และ $c=\{q\left|\,\right. \exists (p,r)\in N\times N, (p,q,r)\in B\}$
ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $C$ เท่ากับข้อใด
1) 8
2) 7
3) 6
4) 5