ก่อนอื่นนะครับ ต้องเริ่มจากการเช็กคุณสมบัติ 5 ข้อครับ
1.ต้องตรวจว่า $\mathbb{Z} $ ไม่ใช่เซตว่างครับ อันนี้ obviously ครับ
2. ต้องตรวจสอบว่า มีสมบัติปิดภายใต้ $\oplus$
สมบัติปิดคือ $\forall$ a,b $\in$ $\mathbb{Z} $ แล้วต้องแสดงว่า a$\oplus$ b $\in$ $\mathbb{Z} $งับ
เริ่มนะครับ ให้ a,b $\in$ $\mathbb{Z} $
a$\oplus$ b = a+b-2 $\in$ $\mathbb{Z} $ ($\because $ $\forall$ a,b $\in$ $\mathbb{Z} $ )
$\therefore $ a$\oplus$ b $\in$ $\mathbb{Z} $
ดังนั้น $\mathbb{Z} $ มีสมบัติปิดภายใต้ $\oplus$
เริ่มง่ายแล้วใช่มั้ยครับ
3.ต้องตรวจสอบว่า $\forall$ a,b,c $\in$ $\mathbb{Z} $ (a$\oplus$b)$\oplus$c = a$\oplus$(b$\oplus$c)
จะได้ว่า (a$\oplus$b)$\oplus$c = (a+b-2)$\oplus$c = (a+b-2)+c-2 = a+b+c-4
และ a$\oplus$(b$\oplus$c) = a$\oplus$(b+c-2) = a +(b+c-2) -2 = a+b+c-4
พบว่า (a$\oplus$b)$\oplus$c = a$\oplus$(b$\oplus$c)
ดังนั้น $\oplus$ มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม เห็ยมั้ยครับว่า 2 ข้อนี้ง่ายๆ
4.ต้องการหาเอกลักษณ์ (เราลองทดสิว่า a$\oplus$ b = a แล้ว b จะเป็นอะไร ลองเปลี่ยน a$\oplus$ b = a+b-2 จะได้ว่า a+b-2 = a $\rightarrow $ b-2=0 ดังนั้น b =2 นั่นเอง แสดงว่า 2 เป็นเอกลักษณ์ อย่าลืมนะ นี่ทดในใจ 555)
$\exists $2 $\in$ $\mathbb{Z} $ $\forall$ a $\in$ $\mathbb{Z} $ ที่ทำให้
a$\oplus$ 2 = a+2-2 = a และ 2$\oplus$ a = 2+a-2 = a
$\therefore $ a$\oplus$ 2 = a = 2$\oplus$ a
ดังนั้น 2 เป็นเอกลักษณ์ภายใต้ $\oplus$
นั่นแน่ะอีกนิดเดียวครับ ข้อสุดท้ายนี่โหดหินนิดนุง
5. ต้องการหา inverse (ทดแปป ว่า a$\oplus$b = 2 แล้ว b คืออะไร ที่ต้องเป็น = 2 ตามนิยามนะครับ เพราะ 2 เป็นเอกลักษณ์ ทดก่อน เรารู้ว่า a$\oplus$ b = a+b-2 ดังนั้น a$\oplus$ b = 2 $\rightarrow $ a+b-2 = 2 ย้ายข้างหา b จะได้ว่า b = 4 - a ทดเสร็จแล้ว)
ให้ $\forall$ a $\in$ $\mathbb{Z} $ $\exists $4-a $\in$ $\mathbb{Z} $ (เพราะ a $\in$ $\mathbb{Z} $ และ 4 $\in$ $\mathbb{Z} $ จากสมบัติปิดภายใต้การบวกของจำนวนจริง ดังนั้น 4-a $\in$ $\mathbb{Z} $ )
จะได้ว่า a$\oplus$ (4 - a) = a+(4-a)-2 = 2 และ (4-a)$\oplus$ a = (4-a)+a-2 = 2
$\therefore $ a$\oplus$ (4 - a) = 2 = (4-a)$\oplus$ a
ดังนั้น 4-a เป็นตัวผกผันของ a ภายใต้การดำเนินการ $\oplus$
จากทั้ง 5 ข้อจึงสรุปได้ว่า ($\mathbb{Z} $ ,$\oplus$) เป็น กรุป งับ
จากที่ทำมาไม่ยากใช่มั้ยครับ ถ้าสนใจจะทำเพิ่ม ยึดโจทย์เดิมงับ(เงื่อนไข) แล้วหา a$\bullet $b = $\frac{ab}{2}$ จงแสดงว่า ($\mathbb{Z} $ ,$\bullet $ )เป็น กรุป เอาใจช่วยงับ
|