[B บ ....]

อืม ข้อ 2 นี่ ยังไม่เก็ทมากครับ ผมทำแบบนี้
Suppose that the condition holds. Since $f(0)=0$ and $f(1) = 1$,
Define $g: [0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ by $$g(x) = (f(x))^2 - x^2.$$ Then $g$ is differentiable on $(0,1)$ and continuous on $[0,1]$. Since $g(0) = 0 = g(1)$, by MVT, we have $$2f'(a)f(a) - 2a = 0$$ for some $a \in (0,1).$ We have $f(a) \neq 0$ since $a \neq 0$. So $f'(a) = \frac{a}{f(a)}$.
Case 1 $f(a) = -a$, then by applyin MVT on $(0,a)$ we have $$(a-0)f'(y_1) = (f(a) - f(0)) = -a-0$$
Since $y_1 \in (0,a)$, $y_1 \neq a$ and $f'(y_1)f'(a) = (-1)(-1) =1$.
Case 2 $f(a) = a$, then by applying MVT on $(0,a)$ and $(a,1)$, we have $$(a-0)f'(c_1) = (f(a) - f(0)) = a-0, \ \ (1-a)f'(c_2) = (f(1)-f(a)) = 1-a.$$
Since $a \neq 0,1, $ we have $f'(a_1) = 1= f'(a_2)$ where $a_1 \in (0,a), a_2 \in (a,1)$.
Case 3 $f(a) \neq a, -a$. We will find $k \in (0,1)$ such that $f'(k) = \frac{f(a)}{a}$. ... no idea ช่วยใบ้ต่อหน่อยครับ วาแต่มาแนวนี้โอมั้ยครับ
ปล. ข้อ 1 มันแทบจะเป็นนิยาม convex function เลย บางอันก็วาดรูปแสดงให้ดู ซึ่งก็พอนึกรูปออก กำลังพยายามพิสูจน์ครับ ถ้าช่วนแนะนำ referrence หรือแนวๆ พิสูจน์ได้จะขอบคุณมากๆเลยครับ พยายามคิดๆๆ ค้นๆละ ไม่ออก ไ่เจอพรูฟ เจอแต่แบบนิยาม T^T
ขอบคุณมากคราบ