[gools]

ต้องแสดงก่อนว่า $(x_n)$ มีขอบเขตโดย induction

เนื่องจาก $(y_n)$ มี limit ดังนั้น $(y_n)$ มีขอบเขต: $|y_n| < A$ ทุกๆ $n$

ให้ $B=max\{A,|x_1|\}$ สมมติว่า $|x_n|<B$ เราจะได้

$2|x_{n+1}| = |y_n-x_n| \leq |y_n| + |x_n| < 2B$ ดังนั้น $|x_{n+1}| < B$

โดย induction $|x_n|<B$ ทุกๆ $n$

ให้ $\lim y_n = c$

จาก $y_n-x_n=2x_{n+1}$ ใส่ limsup เข้าไปทั้งสองข้าง

$\limsup (y_n-x_n)=c-\liminf x_n = 2\limsup x_n \ \ \ \ \ \ \ (1)$

ถ้าใส่ liminf เข้าไปแทนจะได้

$\liminf (y_n-x_n)=c-\limsup x_n = 2\liminf x_n \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$

แก้สมการออกมาจะได้ว่า $\limsup x_n = \liminf x_n = \dfrac{c}{3}$
ดังนั้น $(x_n)$ มี limit $\dfrac{c}{3}$