ผมว่าคงเกินหลักสูตรม.ต้นแล้ว ใช้วิธี modulo หรือ วิธีของ Euclid ผมคิดต่อจากของคุณNooonuii เพราะตั้งแต่ พจน์ที่7จะหาร7ลงตัว
$$(3^{2})^{1000}\equiv 2^{1000}\equiv 2\, mod7$$
$$2^{2000}=(2^{1000})^2\equiv 4 \,mod7$$
$$5^{2000}=(5^2)^{1000}\equiv 4^{1000}\equiv 2^{2000}\equiv 4\, mod7$$
$(4!)^{2000}=(2^{2000})^2(3^{2000})(2^{2000})=(2^{2000})^3 (3^{2000})$
$(6!)^{2000}=(2^{2000})(3^{2000})(5^{2000})(2^{2000})^2 (3^{2000})(2^{2000})=(2^{2000})^4(3^{2000})^2(5^{2000})$
$$เศษ1+(\frac {2×4}{7}=เศษ1)+(\frac {3×2×4}{7}=เศษ3)+(\frac {4×4^3×2}{7}=เศษ1)+(\frac {5×4×4^3×2}{7}=เศษ5)+(\frac {6×4^4×2^2×4}{7}=เศษ6)$$
$$=\frac {17}{7}$$
$$ดังนั้นคำตอบเศษ=3$$