[warut]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

ทฤษฏีจำนวน
4.จงหาจำนวนเต็มบวก m,n ทั้งหมดที่ทำให้ 2^m+3ⁿ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ให้ $x^2=2^m+3^n$

พิจารณา modulo $3$ จะพบว่า $x^2\equiv(-1)^m\pmod3$ แต่ $x^2\equiv-1\pmod3$ ไม่มีคำตอบ ดังนั้น $m$ จะต้องเป็นจำนวนคู่ ให้ $m=2a$ นั่นคือ $x^2=2^{2a}+3^n$

พิจารณา modulo $4$ จะพบว่า $x^2\equiv(-1)^n\pmod4$ แต่ $x^2\equiv-1\pmod4$ ไม่มีคำตอบ ดังนั้น $n$ จะต้องเป็นจำนวนคู่ ให้ $n=2b$ นั่นคือ $x^2=2^{2a}+3^{2b}$

เราจึงได้ว่า $3^{2b}= (x-2^a)(x+2^a)$ และเนื่องจาก $\gcd(x-2^a, x+2^a)$ จะต้องหาร $(x+2^a)-(x-2^a)=2^{a+1}$ ลงตัว และหาร $3^{2b}$ ลงตัวด้วย แสดงว่า $\gcd(x-2^a, x+2^a)=1$

ดังนั้นเราจึงได้ว่า $x-2^a=1$ และ $x+2^a=3^{2b}$ นั่นคือ $x=1+2^a$ และ $1+2^{a+1}=3^{2b}$ แสดงว่า $(3^b-1)(3^b+1)=2^{a+1}$ แต่เนื่องจาก $\gcd(3^b-1, 3^b+1)$ จะต้องหาร $(3^b+1) - (3^b-1)=2$ ลงตัว ดังนั้น $\gcd(3^b-1, 3^b+1)$ เท่ากับ $1$ หรือ $2$

ถ้า $\gcd(3^b-1, 3^b+1)=1$ เราจะได้ว่า $3^b-1=1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ถ้า $\gcd(3^b-1, 3^b+1)=2$ เราจะได้ว่า $3^b-1=2$ นั่นคือ $b=1$ ซึ่งเมื่อคิดย้อนกลับไป เราจะได้ว่าคำตอบทั้งหมดคือ $(m,n)=(4,2)$ ครับ