[mathwarrior]

ข้อ 1 ต้องใช้ความรู้เรื่อง Fermat's little theorem ครับ (สามารถศึกษาได้ในหนังสือ สอวน. ครับ)
จาก $(3,2) = 1$ โดย Fermat's little theorem ได้ว่า
$2^{3-1} \equiv 1 ( mod 3 )$
$2^{2} \equiv 1 ( mod 3 )$
$\therefore 2^{560} \equiv 1 ( mod 3 )$
$\therefore 2^{561} \equiv 2 ( mod 3 )$ $--- (1)$

จาก $(11,2) = 1$ โดย Fermat's little theorem ได้ว่า
$2^{11-1} \equiv 1 ( mod 11 )$
$2^{10} \equiv 1 ( mod 11 )$
$\therefore 2^{560} \equiv 1 ( mod 11 )$
$\therefore 2^{561} \equiv 2 ( mod 11 )$ $--- (2)$

จาก $(17,2) = 1$ โดย Fermat's little theorem ได้ว่า
$2^{17-1} \equiv 1 ( mod 17 )$
$2^{16} \equiv 1 ( mod 17 )$
$\therefore 2^{560} \equiv 1 ( mod 17 )$
$\therefore 2^{561} \equiv 2 ( mod 17 )$ $--- (3)$

จาก $(1) , (2) , (3)$ $\therefore 2^{561} \equiv 2 ( mod [3 , 11 , 17] )$
$\therefore 2^{561} \equiv 2 ( mod 561 )$
สรุปได้ว่า $561 \left|\,\right. 2^{561} - 2$

จาก $3 \left|\,\right. 3(3^{560} - 1) = 3^{561} - 3$
$\therefore 3^{561} \equiv 3 ( mod 3 )$ $--- (4)$

จาก $(11,3) = 1$ โดย Fermat's little theorem ได้ว่า
$3^{11-1} \equiv 1 ( mod 11 )$
$3^{10} \equiv 1 ( mod 11 )$
$\therefore 3^{560} \equiv 1 ( mod 11 )$
$\therefore 3^{561} \equiv 3 ( mod 11 )$ $--- (5)$

จาก $(17,3) = 1$ โดย Fermat's little theorem ได้ว่า
$3^{17-1} \equiv 1 ( mod 17 )$
$3^{16} \equiv 1 ( mod 17 )$
$\therefore 3^{560} \equiv 1 ( mod 17 )$
$\therefore 3^{561} \equiv 3 ( mod 17 )$ $--- (6)$

จาก $(4) , (5) , (6)$ $\therefore 3^{561} \equiv 3 ( mod [3 , 11 , 17] )$
$\therefore 3^{561} \equiv 3 ( mod 561 )$
สรุปได้ว่า $561 \left|\,\right. 3^{561} - 3$