[Thamma]

ขอบพระคุณมากค่ะ

ตอน 2 ข้อ 5 , Linear recurrence relation

$ a = x - y $
$ b = y - z $
$ c = z - x $

โจทย์ต้องการหา $\; a^6 + b^6 + c^6 $

จาก $\;(x-a)(x-b)(x-c) = x^3 -x^2(a+b+c) +x(ab+bc+ca) - abc $
จะได้ว่า $\;a,b,c \;$ เป็นรากของสมการ $\; x^3 -x^2(a+b+c) +x(ab+bc+ca) - abc = 0 $

$ p = a + b + c $
$ q = ab + bc + ca $
$ r = abc $

$ x^3 -p x^2 +q x - r = 0 $

จากโจทย์ , p = 0, r = 30, เราต้องการหา q


$ x^2+y^2+z^2 = (x+y+z)^2 - 2 (xy+yz+zx) = (14)^2 - 2(59) = 78 $


$ q = (x-y)(y-z)+(y-z)(z-x)+(z-x)(x-y) $

$\; = xy+yz+zx - (x^2+y^2+z^2) $

$\; = 59-78 = -19 $


$ x^3 -19 x - 30 = 0 $ ---*

$ x^3 = 19 x + 30 $

$ T_n = 19 T_{n-2} + 30 T_{n-3} $


จาก $\; T_n = a^n +b^n + c^n $ จะได้ว่า $\; T_0 = 3 , \; T_1 = 0 $

$ a^2 + b^2 + c^2 = 0 - 2(-19) = 38 \;$ ดังนั้น $\; T_2 = 38 $


$T_3 = (19\cdot0) + (30\cdot3) = 90 $

$T_4 = (19\cdot38) + (30\cdot0) = 722 $

$T_5 = (19\cdot90) + (30\cdot38) = 2850 $

$T_6 = (19\cdot722) + (30\cdot90) = 16418 $

Ans 16,418

อยากเห็นวิธีของคุณ Amankris ด้วยค่ะ