ปีนี้ผมได้มีโอกาสไปเข้าร่วมการแข่งขันคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ระหว่างโรงเรียนครั้งที่13 ณ โรงเรียนเตรียมอุดมศึกษา ในวันที่ 26 ธันวาคม 2557 ที่ผ่านมา ดูเหมือนว่ากติกาปีนี้จะเขียนไว้ว่าจะไม่แจกข้อสอบผู้เข้าแข่งขันกลับบ้านนะครับ ผมก็ขอเท่าที่ขำได้มาแชร์ละกันนะครับ กติกาก็มี
รอบที่ 1 มี 4 ตอน คือ แบบ 6 ตัวเลือกโดยเลือกตอบตัวเลือกที่ดีที่สุด 10 ข้อ 20 คะแนน
5 ตัวเลือกโดยสามารถเลือกกี่ตัวเลือกก็ได้ 5 ข้อ 15 คะแนน
เติมคำแบบยาก 10 ข้อ 40 คะแนน
และเติมคำแบบโคตรยาก 5 ข้อ 25 คะแนน รวม 100 คะแนน คัด 10 ทีมที่ทำคะแนนรวมสูงสุดไปแข่งรอบสองครับ
ครั้งนี้ตัดที่ 11.5% ครับ
ส่วนรอบสองจะใช้ข้อสอบเป็นชุดย่อยๆ 4 ชุด ชุดละสามข้อ ข้อละ 7 คะแนนโดยให้เวลา 7 นาที และชุดสุดท้ายซึ่งเป็น unseen 11 นาที อีก 16 คะแนนครับ ให้ช่วยกันคิด
ตัวอย่างข้อสอบ เท่าที่จำได้ครับ
รอบแรก
1) เอลซ่ากับอันนาต้องการประลองเวทย์หิมะน้ำแข็งบนยอดเขาเอเวอเรสต์โดยทั้งคู่ยืนห่างกัน $1$ เมตร เริ่มแรกทั้งคู่สร้างรัศมีน้ำแข็งรอบตัวเป็นรูปบนพื้น(ไม่ได้กำหนดรัศมีเริ่มต้น) และขยายรัศมีน้ำแข็งตนเองวินาทีละ $1$ เซนติเมตร ถ้าจุดที่รัศมีน้ำแข็งของทั้งคู่ตัดกันเรียกว่า จุดสูญเยือกแข็ง โลคัสของจุดสูญเยือกแข็งมีลักษณะเป็นภาคตัดกรวยชนิดใด
2) $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมที่มี $B_1$ $C_1$ เป็นจุดกึ่งกลาง $AC,AB$ ตามลำดับ ให้ $I$ เป็นจุดอินเซนเตอร์ของวงกลม ลาก $B_1I$ ตัด $AB$ ที่ $C_2$ ลาก $C_1I$ ตัด $AC$ ที่ $B_2$ ปรากฏว่าพื้นที่สามเหลี่ยม $ABC$ เท่ากับสามเหลี่ยม $AB_2C_2$ จงหาขนาดมุม $\angle BAC$
3) กำหนดให้เซต $S=\left\{\,1,2,3,...,2014\right\} $ จงหาจำนวนของสับเซตของ $S$ ทั้งหมดที่ผลรวมของสมาชืกในสับเซตหารด้วย $19$ ลงตัว
4) แมงมุมสามตัวยืนอยู่บนแต่ละจุดยอดของสามเหลี่ยมด้านเท่า $ABC$ ซึ่งมีความยาวด้านละ $1$ เมตร โดยแมงมุม $A$ จะวิ่งไปหาแมงมุม $B$ ในขณะเดียวกันแมงมุม $B$ ก็วิ่งไปหาแมงมุม $C$ และในขณะเดียวกันแมงมุม $C$ ก็วิ่งไปหาแมงมุม $A$ ถ้าปมงมุมทั้งสามวิ่งด้วยความเร็ว $1$ เซนติเมตรต่อวินาที ต้องใช้เวลาเท่าใดแมงมุมทั้งสามถึงมาพบกันที่จุดจุดหนึ่งในสามเหลี่ยม $ABC$ (สังเกตว่าแมงมุมทั้งสามจะเคลื่อนที่เป็นเส้นโค้งครับ)
5) แบงค์ เจมส์ ฟรัง แพรวา และเหนิง กำลังเล่นไพ่กันอยู่อย่างสนุกสนาน เมื่อเล่นไปได้สักพักปรากฏว่าหลังจากที่แบงค์สับไพ่ เขาสามารถนำไพ่ทั้ง $18$ ใบมาเรียงเป็นคำว่า $HORMONESTHENEXTGEN$ ได้พอดี จงหาว่า แบงค์สามารถกรีดไพ่ได้กี่วิธี
นิยามการกรีดไพ่คือการแยกไพ่ออกเป็นสองกอง โดยที่แต่ละกองไม่จำเป็นต้องมีไพ่เท่ากัน จากนั้นจึงรวบไพ่ทั้งสองกองเข้ามาเป็นกองเดียว
6) กำหนดให้ $x_1,x_2,...x_{2557}$ เป็นจำนวนในช่วง $(\frac{1}{4} ,1)$จงหาค่าต่ำสุดของ
$log_{x_1}(x_2-\frac{1}{4}) + log_{x_2}(x_3-\frac{1}{4})+log_{x_3}(x_4-\frac{1}{4})+...+log_{x_{2557}}(x_1-\frac{1}{4})$
7) นักเรียน $250$ คน แต่ละคนมีกิจกรรมอย่างน้อยหนึ่งในสามอย่าง มีคนเล่นกีฬา $101$ คน เล่นดนตรี $100$ คน อ่านหนังสือ $99$ คน ถ้ามีคนเล่นกีฬาและเล่นดนตรี $4$ คน จะมีคนที่มีกิจกรรมยามว่างแค่ $2$ อย่างเท่านั้นได้มากที่สุดกี่คน
8) ฟังก์ชัน $S(n)$ คือฟังก์ชันผลบวกเลขโดดในแต่ละหลักของ $n$ เช่น $S(2014)=2+0+1+4=7$ ให้ $m$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดที่ทำให้ $S(m)-S(5m)=2014$ แล้ว $m$ มีเป็นจำนวนเต็มที่มีกี่หลัก
9) กำหนดให้ $S=\left\{\,1,2,3,4,5,6,7\right\} $ $f:S\rightarrow S$ ซึ่ง $f(f(f(x)))=x$ มีกี่ฟังก์ชัน
10) กำหนดให้ $x\in [1,12]$ $y\in [2,6]$ $z\in [3,4]$ และ $x+y+z=17$ จงหาผลต่างของค่ามากสุดและค่าต่ำสุดของ $\frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} $
11) กำหนดให้ $\left\{\,A\right\} $ คือ fractional function กำหนดให้ $45<x<46$
และ $\left\{\,x\right\} =\left\{\,\frac{1}{x} \right\} $ จงหาค่าของ $x+\left\{\,x\right\} $
12) $143<n<1143$ เป็นจำนวนเต็ม มี $n$ กี่จำนวนที่ $777n+777$ มีเลขหลักพันหรือหลักหมื่นต่างกัน
13) ต้องการหาความแปรปรวนของข้อมูลคะแนนประชากรชุดหนึ่ง นาย $A$ เข้าใจผิดคิดว่าเป็นกลุ่มตัวอย่างจึงได้ค่ามากกว่าความจริงไป $24$ คะแนน นางสาว $B$ อ่านตัวเลขผิดจาก $45$ ไปเป็น $24$ จึงได้ความแปรปรวนมีค่าเป็นหนึ่งในสี่ของค่าจริง ความแปรปรวนจริงเป็นเท่าใด
รอบสอง
1) $ABC$ เป็นสามเหลี่ยม ซึ่งมีเวกเตอร์ $\vec u =AB ,\vec v =AC$ และมี $H$ เป็นจุดออโธเซนเตอร์ของ $ABC$ ถ้า $\left|\,u\right| =3\sqrt{2} $ $\left|\,v\right| = \sqrt{6} $ และ $u·v=5$ ถ้า $AH=x\vec u +y\vec v$ แล้ว $5x+6y$ เป็นเท่าใด
2) $E(n)=n(n+1)(2n+1)(3n+1)...(13n+1)$
จงหาตัวหารร่วมมากของ $E(1),E(2),E(3,),..., และ E(2014)$
3) $A$เป็นเซตของจำนวนที่มีคุณสมบัติดังนี้
(1) ถ้า $x$ เป็นสมาชิกของ $A$ แล้ว $8|x$ และ $9|x$
(2) เป็นจำนวนที่ประกอบด้วยเลขโดด $8$ หรือ $9$ เท่านั้น
(3) จะประกอบด้วยเลขโดดเพียงตัวเดียวทุกหลักไม่ได้
ถ้าจำนวนที่มีค่าน้อยที่สุดใน $A$ มี $d$ หลัก กำหนดให้ $B$ เป็นสับเซตของ $A$ ซึ่งสมาชิกทุกตัวมี $d$ หลัก
ให้ $a,b,c$ เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณิต มัธยฐาน และพิสัยของสมาชิกใน $B$ ตามลำดับ จงหาค่าของ $a-(\frac{b}{9000} )+c+\frac{1111111}{7} $ (ไม่มั่นใจก้อนท้ายสุดแต่อะไรประมาณนี้ล่ะครับ)
4) กำหนดให้ $f(x)=x^2-2$ จงหาจำนวนรากจริงของสมการ $f^{2557}(x) = x$
5) $\int_{\frac{1}{3} }^{1}\, \frac{dx}{16x^2+8x+2}$ มีค่าเท่าใด
6) จงหาผลบวกของกำลังสองของรากจริงทั้งหมดของสมการ $x^3+1=x+\sqrt[3]{2x-1}$
7) กำหนดให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $x\geqslant \frac{(y-1)^2}{3}$ และให้ $p$ เป็นตัวประกอบเฉพาะบวกที่น้อยที่สุดของ $x+y+1$ และ $48\mid p-17$ ถ้า $x+y+1\mid x^5+y^5+1$ แล้ว $x,y$ มีค่าเท่าไร (โจทย์ให้นำค่า $x,y$ ที่ได้มาดำเนินการบวกลบอะไรสักอย่างนี่ล่ะครับ)
8) แบคทีเรียบัส เป็นแบคทีเรียโบราณที่ถือกำเนิดบนโลก 1 ตัวในช่วงต้นยุคหินเก่า ในแต่ละปี แบคทีเรียบัส"แต่ละตัว"จะดำเนินการหนึ่งในสี่อย่าง ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากัน คือ
(1) ย่อยสลายตัวเอง
(2) แบ่งตัวเอง ทำให้เกิดแบคทีเรียตัวใหม่อีก 1 ตัว
(3) ผสมพันธุ์กับแบคทีเรียตัวอื่น ทำให้เกิดแบคทีเรียใหม่อีก 3 ตัว
(4) ไม่ทำอะไรเลยในปีนั้นเนื่องจากจะเสื่อมสมรรถภาพในการสืบพันธุ์เป็นเวลาหนึ่งปี
(แบคทีเรียบัสแต่ละตัวไม่จำเป็นต้องทำกิจกรรมเหมือนแบคทีเรียบัสตัวอื่น)
จงหาความน่าจะเป็นที่แบคทีเรียบัสจะสูญพันธุ์ในช่วงยุคหินใหม่ (โจทย์ให้มาเท่านี้อะครับ)
UNSEEN
-) ให้นิยาม field และ galois field มา แบบใน
http://en.wikipedia.org/wiki/Field_%28mathematics%29
คำถาม
(1) เซตของจำนวนเต็มเป็น field ไหม
(2) ในกาลัวฟิลด์ $F_{2017}$ (จำนวนเต็มมอดุโล $2017$)
$1·2+2·3+...+2013·2014 =2015$ จริงไหม
(อีกสามข้อย่อยจำไม่ได้ครับ)
นอกจากข้อสอบที่มหัศจรรย์แล้ว ผมประทับใจการเตรียมงานมากครับ ตั้งแต่เริ่มงานจนจบงานเลย การตรวจข้อสอบทำได้รวดเร็วมาก มีคะแนนขึ้นชัดเจน การประสานงานระหว่่างการแข่งขันนี่ยิดเยี่ยมมากเลยครับ รวดเร็วทันใจ การต้อนรับน่าประทับใจมากครับ แถมยังได้เดินงาน OPENHOUSE ด้วย ^^