อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ pont494
5.ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะและ $h+k = p-1$ เมื่อ $h\geqslant 0$ และ $k\geqslant 0 $
จงพิสูจน์ว่า $h!k!+(-1)^h\equiv 0(mod$ $p)$
|
ข้อ 5 เป็นโจทย์ค่อนข้างง่ายนะครับ แค่ต้องมองให้ออกนิดนึง
เริ่มจาก Wilson's theorem ดูครับ
$$(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$$
ซึ่งตรงนี้เราแตกออกมาเป็นสองก้อน
$$\Big[ (p-1)(p-2) \cdots (k+1) \Big] \cdot k! \equiv -1 \pmod{p}$$
ซึ่ง $p-1 \equiv -1 \pmod{p}$ และตัวอื่นๆก็เช่นกัน จึงได้ว่า
$$\Big[ (-1)(-2) \cdots (-p+(k+1)) \Big] \cdot k! \equiv -1 \pmod{p}$$
เราก็จะได้ว่าในวงเล็บก้ามปู ตัวสุดท้ายคือ $-h$ นั่นเอง แสดงว่าในวงเล็บคือ $(-1)^{h} \cdot h!$ ดังนั้น
$$(-1)^{h} \cdot h!k! \equiv -1 \pmod{p}$$
ซึ่งสามารถจัดรูป และสมมูลกับสิ่งที่โจทย์ต้องการครับ
หมายเหตุ : เนื่องจาก $h+k=p-1$ ซึ่งเป็นเลขคู่ ดังนั้นตัวยกกำลังของ -1 จะเป็น h หรือ k ก็ได้ครับ มีค่าเท่ากัน