อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ
9.ให้ $z_1$ และ $z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ $\left|\,z_1+z_2\right| =1$ และ $\left|\,z^2_1+z^2_2\right| =1$
จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ $\left|\,z^3_1+z^3_2\right|$
|
เป็นโจทย์ข้อแรกในรอบสามเดือนที่ผมตั้งใจคิดอย่างจริงจังเลยครับ ก็คิดว่ายังมีวิธีที่ดีกว่านี้แหละนะครับ
สังเกตว่าถ้า $z_1=r(\cos\alpha+i\sin\alpha),z_2=s(\cos\beta+i\sin\beta)$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งสอดคล้องทั้งสองเงื่อนไขและทำให้เกิดค่าสูงสุดหรือต่ำสุด จะได้ว่า
$w_1=r,w_2=s(\cos(\beta-\alpha)+i\sin(\beta-\alpha))$ ก็จะมีสมบัติเดียวกัน
จึงเพียงพอที่จะสมมติว่า $z_1=r,z_2=s(\cos\theta+i\sin\theta)$
จากเงื่อนไข $|z_1+z_2|=1$ จะได้ว่า
$1=r^2+s^2+2rs\cos\theta$
ยกกำลังสองสมการนี้ทั้งสองข้างจะได้
$1=r^4+s^4+4r^2s^2+2r^2s^2\cos 2\theta+4rs(r^2+s^2)\cos\theta$
จากเงื่อนไข $|z_1^2+z_2^2|=1$ จะได้ว่า
$1= r^4+s^4+2r^2s^2\cos 2\theta$
จับสองสมการสุดท้ายมาลบกันจะได้ว่า
$\cos\theta = -\dfrac{rs}{r^2+s^2}$
แทนค่าในสมการแรกจะได้
$r^2+s^2=r^4+s^4$
ดังนั้นจะได้ว่า
$|z_1^3+z_2^3|^2 = |z_1^2-z_1z_2+z_2^2|$
$=r^4+s^4+2r^2s^2\cos 2\theta +r^2s^2-2rs(r^2+s^2)\cos\theta$
$=1+r^2s^2+2r^2s^2$
$=1+3r^2s^2$
$\geq 1$
สมการเกิดเมื่อ $r=0$ หรือ $s=0$ เช่น $z_1=0,z_2=1$
ของแถม
เนื่องจาก $(r^2+s^2)^2 \leq 2(r^4+s^4)=2(r^2+s^2)$
ดังนั้น $r^2+s^2\leq 2$
จึงได้ว่า $2rs\leq r^2+s^2\leq 2$
นั่นคือ $rs\leq 1$
ดังนั้น $|z_1^3+z_2^3|^2 = 1+3r^2s^2\leq 4$
จึงได้ว่า $|z_1^3+z_2^3|\leq 2$
สมการเกิดเมื่อ $r=s=1$ และ $\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$
นั่นคือ $z_1=1,z_2=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$