รบกวนขอคำแนะนำในการทำโจทย์ หน่อยครับ
1. Let $p$ be a complex-valued polynomial of two real variables : $$p(z) = \sum a_{ij}x^iy^j.$$ Write $$p(z) = \sum_{j \geq 0} P_j(z) \bar{z}^j$$,where each $P_j$ is of the form $P_j(z) = \sum b_{ij}z^i$ (a polynomial in $z$). Prove tht $p$ is an entire function if and only if $0 \equiv P_1 \equiv P_2 \equiv ...$.
งงการดัชนีพหุนามมากครับ การเขียนพหุนามสองตัวแปรในรูป $z^i\bar{z}^j$ กระจายแล้วงงครับ พอมีคำแนะนำมั้ยครับ ส่วนการพรูฟขากลับ ถ้า $P_i$ เป็นฟังก์ชัน $0$ หมด แล้ว $p$ is analytic on $\mathbb{C}$ นี่น่าจะ obvious ส่วนขาไปงงจังครับ
2. Find the radius of convergence of the power serie $$\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n$$, where $a_0 =0, a_1 = 1, a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \forall n>1.$ (Hint : Multiply the serie by $z^2 + z -1) $
ข้อนี้คือเค้า hint แล้ว แต่งงว่ามัยช่วยให้ชีวิตดีขึ้นยังไง ตัว $a_n$ ก็นิยามแบบ recurrent อีก งง ดูจากตัว $a_n$ เฉยๆ น่าจะลู่ไป infinity นะครับ
3. ข้อนี้งง สิ่งที่โจทย์ถามครับ
Determine the radius of convergence on each of complex power series :
$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n^2}, \sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n}, \sum_{n=0}^{\infty}n! z^n.$$
For those with infinity radius of convergence, can you conclude anything about convergent at infinity ? คือ เค้าต้องการให้แทน $z = \infty$ แล้วดูการลู่เข้าใน extended complex plane (Riemann sphere) หรอครับ convergent at infinity คือ อะไร งง
ขอบคุณล่วงหน้าทุกท่านที่ช่วยเหลือครับ
