ค่อนข้าวยาวนะครับข้อนี้
เราสมมติให้ $(a,b,c)=1$ เพราะเราได้ว่าถ้าหาก $(a,b,c)$ เป็นคำตอบแล้ว $(\lambda a,\lambda b,\lambda c)$ ก็เป็นคำตอบเช่นกัน ($\lambda\in \mathbb{N}$)
เราจะสนใจคำตอบที่ $(a,b,c)=1$
เราแยกกรณีก่อนคือ
1.ในสามตัวแปร มีอย่างน้อยสองตัวแปรที่มีค่าเท่ากัน เราให้เป็น $a,b$
เราจะได้ว่า $a|b+c \rightarrow a|c$ แสดงว่า ถ้าหาก $a>1$ แล้ว $(a,b,c)\geq a>1$ เราไม่พิจารณากรณีนี้
แสดงว่า $a=b=1$ ส่งผลให้ $c|2$ นั่นก็คือ $c=1,2$ ดังนั้น คำตอบชุดหนึ่งที่เป็นไปได้คือ
$(n,n,n),(n,n,2n)$ และการเรียงสับเปลี่ยนของมัน
2. มีค่าแตกต่างกันทั้งหมด เราให้ $c$ มีค่าสูงที่สุด
เราจะได้ว่า $a|a+b+c,b|a+b+c,c|a+b+c\rightarrow[a,b,c]|a+b+c$
ได้ว่า $[a,b,c]\leq a+b+c$ แต่ $a+b+c<3c$ และ $c|[a,b,c]$ ทำให้ได้ว่า $[a,b,c]=c,2c$
2.1 $[a,b,c]=c$
เราก็จะได้ว่า $b|c,a|c$ จากที่ว่า $b|c+a\rightarrow b|a$ ในทำนองเดียวกันก็จะได้ว่า $a|b$
สรุปได้ว่า $a=b$ ขัดกับที่เราสมมติเอาไว้
2.2 $[a,b,c]=2c$
เราก็จะได้ว่า ถ้าหาก $c=2^zc'$ โดย $c'$ เป็นเลขคี่
แล้ว $v_2(a)=z+1$ หรือ $v_2(b)=z+1$ โดย $v_2(n)$ เป็นกำลังสูงสุดของ $2$ ที่หารจำนวนนับ $n$ ลงตัว
เราสมมติให้ $v_2(a)=k+1$ จาก $2^k|a$ $a|b+c$ เราจะได้ $2^k|b$
ถ้าหาก $k>0$ แล้ว $(a,b,c)\geq 2^k>1$ เราไม่พิจารณากรณีนี้
ดังนั้น $k=0$ และทำให้ $c$ เป็นเลขคี่
จากที่ว่า $c|a+b$ และ $a+b<2c$ แสดงว่า $c\leq a+b<2c$ ทำให้ $a+b=c$
จะได้ว่าไม่$a$หรือ$b$เป็นเลขคู่ เราสมมุติให้ $a=2a'$ เราได้ว่า
$a|2b\rightarrow a'|b,b|2a+2c\rightarrow b|2a\rightarrow b|4a' \rightarrow b|a'$
เราได้ว่า $a'=b$ ดังนั้น $a=2a',b=a',c=3a'$
ได้ว่าชุดคำตอบหนึ่งที่เป็นไปได้คือ $(n,2n,3n)$ และการเรียงสับเปลี่ยนของมัน
สรุปแล้ว คำตอบทั้งหมกก็คือ $(n,n,n),(n,n,2n),(n,2n,3n)$ และการเรียงสับเปลี่ยนของมันครับ