nPr คือ การจัดลำดับ (Permutation) มีของต่างกัน n ตัว เลือกออกมา r ตัว ให้มาเรียงสลับตำแหน่งกันเป็นหน้ากระดาน หรือเส้นตรง เช่น
A = {a,b,c,d}
ถ้าให้หาจำนวนวิธีเรียกสลับสมาชิกของ A ทั้ง 4 ตัว แบบหน้ากระดานจะได้ดังนี้
ตำแหน่งที่ 1 2 3 4
มีโอกาสเลือกสมาชิก 4 3 2 1 ตัว
จะได้จำนวนวิธีในการเรียงลำดับทั้งหมดเท่ากับ 4x3x2x1 = 24 วิธี (หรือเค้านิยมเรียกกันว่า 4!) เขียนเป็นสูตรได้ n!
แต่ถ้าให้เลือกสมาชิกใน A มาแค่ 2 ตัว แล้วจัดเรียงลำดับจะเป็นแบบนี้
ตำแหน่งที่ 1 2 (สังเกตว่าจะเหลือตำแหน่งให้เรียงแค่ 2 ตำแหน่ง)
มีโอกาสเลือกสมาชิก 4 3 ตัว
จะได้จำนวนวิธีในการเรียงลำดับทั้งหมดเท่ากับ 4x3 = 12 วิธี จะเห็นว่าแบบนี้ใช้สูตร n! ไม่ได้(อ่านโจทย์ก็รู้อยู่แล้วว่าใช้ไมได้ -__-!!)
แต่ถ้าลองสังเกตุจากจำนวนวิธีในการเรียงลำดับด้านบน มันคือการนำ n! หารออกด้วยตำแหน่งที่เราไม่ได้สนใจ คือ ตำแหน่งที่ 3 และ 4 นั้นเอง
ซึ่งจำนวนวิธีเรียงลำดับที่เราไม่สนใจ คือ (n-r)! นั้นเอง สรุปเลยได้ สูตร nPr = n! / (n-r)! ครับ ^__^ (สูตรนี้ใช้กับคำถามด้านบนได้ด้วย)
[แต่แบบนี้น่าจะงงๆ ผมเขียนเองยังงงตัวเองเลย -__-!! ถ้างง ก็ให้ย้อนกลับไปดูความเห็นของพี่ๆ ด้านบนนะครับ ]
nCr คือ การจัดหมู่ ซึ่งไม่แคร์เกี่ยวกับลำดับ เช่น A={a,b,c,d} ถ้าให้จัดลำดับสมาชิกของ A ทั้ง 4 ตัว ก็จะได้ 24 แบบ (ใช้ nPr)
แต่ถ้าให้จัดหมู่หรือเลือกกลุ่ม ที่มีสมาชิก 4 ตัว จาก A จะได้แค่วิธีเดียว เพราะว่า A มันมีสมาชิกแค่ 4 ตัวเท่านั้น จะเอาตัวไหนเรียงซ้ายขวาก็ไม่เกี่ยว จะสนใจแค่ว่ามีสมาชิกอะไรอยู่ในกลุ่มแค่นั้น โดยสูตรของ nCr คือ n! / [(n-r)! x r!] (สังเกตว่ามันก็คือ สูตร nPr นั้นแหละ แต่แค่คูณเตัวหารด้วย r! เพิ่ม)
ที่ต้องหารด้วย r! เพิ่มเพราะว่าต้องกำจัดวิธีเรียงซ้ำๆของสมาชิกกลุ่มเดิมออกไป
อ้างอิง:
สุดท้าย ที่คุณ Yukinose ถามว่าการเลือกให้รางวัลเด็กเรียนดีจาก 5 สาขาวิชา ทำไมไม่ใช้ nCr แต่ ใช้ nPr ก็เพราะคำถามข้อนี้สนใจลำดับครับ
เช่น นาย1 ได้รางวัล คณิต และ นาย2 ได้รางวัลอังกฤษ กับ นาย1 ได้รางวัลอังกฤษ และ นาย2 ได้รางวัลคณิต มันไม่เหมือนกันครับ ^^
|