สวยงามมากครับ คุณ R-Tummykung de Lamar กลับมาคราวนี้เก่งขึ้นเยอะเลย
แต่ว่า $(2n)^{2548}\equiv1\pmod{2549}$ ครับ และควรจะบอกด้วยว่าเราได้ตรงนี้มา เพราะเรารู้ว่า $2549\!\not|\;n$ เนื่องจาก $$n\equiv0\pmod{2549} \quad \Rightarrow \quad 8n^3+1 \not\equiv 0\pmod{2549}$$ และก็ไม่จำเป็นต้องใช้ Euler's $\phi$ function ด้วย เพราะตรงนี้เราใช้แค่ Fermat's Little Theorem ก็พอ ไม่จำเป็นต้องใช้ Euler-Fermat Theorem ครับ
ส่วนการพิสูจน์ว่า $$ 2n+1 \equiv0 \pmod{2549} \quad \Rightarrow \quad 4n^2-2n+1 \not\equiv0 \pmod{2549}$$ จะให้เหตุผลโดยใช้ความสัมพันธ์ $$ (4n^2-2n+1) - (2n-2)(2n+1) =3$$ ก็ได้ครับ