อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut
เป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ใช้คุณสมบัติทุกอย่างได้เหมือนจำนวนจริงนี่นา
เอาข้อ 10 ไปทำก่อนก็แล้วกัน
10. จงหา $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ ที่ทำให้
$$f(a)f(b)f(c)f(d)=f(a^2+b^2+c^2+d^2)$$
|
10. Let $g(x)=\dfrac{f(x+1)}{f(x)}$ พิจารณา
$(x+2)^2+(x+2)^2+(x+2)^2+x^2=(x+3)^2+(x+1)^2+(x+1)^2+(x+1)^2$
$f(x+2)f(x+2)f(x+2)f(x)=f(x+3)f(x+1)f(x+1)f(x+1)$
ดังนั้น $g(x)g(x+2)=g(x+1)^2$
$g(n)$ เป็นลำดับเรขาคณิต, let $g(n)=ar^n$
$f(n)=f(1)g(1)g(2)\cdots g(n-1)=f(1)a^{n-1}r^{\frac{n(n-1)}{2}}$ (*)
คราวนี้ก็เหลือแต่แทนค่าให้ได้คำตอบ ให้ $P(a,b,c,d)$ แทน สมการ
$f(a)f(b)f(c)f(d)=f(a^2+b^2+c^2+d^2)$
จาก $P(1,1,1,1)$, $f(1)^4=f(4)=f(1)a^3r^6$
ดังนั้น $f(1)=ar^2$, แทนใน (*) $f(n)=a^nr^{\frac{n(n-1)}{2}+2}$
$P(1,1,1,2)$, $f(1)f(1)f(1)f(2)=f(7)$, $a^5r^9=a^7r^{23}$, $a^2r^{14}=1$
$P(1,1,1,3)$, $f(1)f(1)f(1)f(3)=f(12)$, $a^6r^{11}=a^{12}r^{68}$, $a^6r^{57}=1$
แก้สมการจะได้ $a=r=1$
$\therefore f$ เป็นฟังก์ชันคงตัว ซึ่งจะได้
$f(x)=1$