ขออนุญาตยึดกระทู้นี้ไว้ถาม-ตอบปัญหา Real analysis ที่ผมคิดไว้แต่ไม่รู้ว่า ถูกไหม แล้วกันนะครับ เอามาถามพร้อมรบกวนพี่ๆ ตรวจเช็คความถูกต้อง เช่นเคยครับ
คำถามรวมๆหลายๆเรื่องนะครับ ท่านใดมีปัญหาน่าสนใจก็โพสไว้ได้เลยครับ
1. ให้ $A_n = [n,\infty )$ จงแสดงว่า $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n = \phi $
พิสูจน์ : สมมติ $\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n \neq \phi $ จะได้ว่ามีจำนวนจริง $x$ ที่เป็นสมาชิกของ $A_n$ ทุก $n\in N$ แต่ไม่ว่าเราเลือกจำนวนจริง $x$ ใดก็ตามจะมี $n_0$ ที่ $x\notin A_{n_0}$ เสมอ ซึ่งขัดแย้ง #
2. ให้ $f:X\rightarrow [0,\infty ] $ เป็นฟังก์ชันที่หาเมเชอร์ได้ และ $A\in \mathcal{M}$ จงพิสูจน์ว่า
2.1 ถ้า $\int_{A}f d\mu = 0$ แล้วจะได้ว่า $f(x)=0\; a.e.$ on $A$
พิสูจน์ : ให้ $A_n = \{ x\in A : f(x) > \frac{1}{n} \}$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n\in N$ จะเห็นว่า $A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset ... \subset A_n $ และ $\{ x \in A : f(x)>0 \} = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n $ ซึ่งโดยสมบัติของเมเชอร์จะได้ว่า ${\displaystyle \mu (\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n) = \lim_{n\rightarrow \infty}\mu (A_n) } $
ต่อไปพิจารณา \[ \frac{1}{n}\mu (A_n) < \int_{A_n} f d\mu \leq \int_{A} f d\mu = 0, \; \; \forall n \in N \] ซึ่งจะได้ว่า $\mu (\{ x \in A : f(x)>0 \} ) = 0$ จึงได้ว่า $f(x)=0\; a.e.$ ตามต้องการ #
2.2 ถ้า $\int_{A}f d\mu <\infty $ แล้วจะได้ว่า $f(x) < \infty \; a.e.$ on $A$
พิสูจน์ : สมมติให้ $A_n =\{ x \in A : f(x) > n \}$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n\in N$ จะเห็นว่า $A_1 \supset A_2 \supset ... \supset A_n$ และ $\{ x\in A : f(x)=\infty \} = \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n $ โดยสมบัติของเมเชอร์จะได้ว่า ${\displaystyle \mu (\bigcap_{n=1}^{\infty}A_n) = \lim_{n\rightarrow \infty}\mu (A_n) } $
ต่อไปพิจารณา \[ n\mu (A_n) < \int_{A_n} f d\mu \leq \int_{A} f d\mu \leq M , \; \; \forall n \in N \] ซึ่งจะได้ว่า $\mu (\{ x\in A : f(x)=\infty \}) = \lim_{n\rightarrow \infty} \mu (A_n) \leq \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{M}{n} = 0 $ ดังนั้น $\mu (A) = 0$ ทำให้ได้ว่า $f(x)< \infty \; a.e.$ ตามต้องการ #
3. ให้ $f\in L_1(R)$ จงแสดงว่า ${\displaystyle F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt }$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง
พิสูจน์ : ให้ลำดับของจำนวนจริงที่ลู่เข้า $x_n\rightarrow x$ ต่อไปจะแสดงว่า $F(x_n)\rightarrow F(x)$
พิจารณา
\[ \lim_{n\rightarrow \infty} \mid \int_{-\infty}^{x_n} f(t)dt -\int_{-\infty}^{x} f(t)dt \mid = \mid \lim_{n\rightarrow \infty} \int_{x_n}^{x}f(x) dx \mid \]
พิจารณา \[ \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{x_n}^{x}f(x) dx = \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\chi_{[x,x_n]} dx\]
โดย จะเห็นว่า $|f(x)\chi_{[x,x_n]}|\leq |f(x)| \in L_1$ โดย Lebesgue Dominated Convergence Theorem จะได้ว่า \[ \lim_{n\rightarrow \infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\chi_{[x,x_n]} dx = \int_{-\infty}^{\infty}\lim_{n\rightarrow \infty}f(x)\chi_{[x,x_n]} dx = 0 \]
ดังนั้น $F$ ต่อเนื่อง
4. จงหาค่าของ \[ \lim_{n\rightarrow \infty} \int_0^{n} (1-\frac{x}{n})^ne^{x} dx\]
คิดไม่ออกครับ ว่าใช้วิธีไหนดี ?
ยังมีอีกครับแต่ยังคิดไม่ออก ไว้คิดออกแล้วจะมาโพสใหม่นะครับ
