คิดมือไม่ออก แต่ใช้ wolfram alpha ทำ integral test ให้บวกกับหาลิมิตด้วยมือเอง จะพบว่าลู่ออก โดยจากการให้ wolfram alpha อินทิเกรตให้ จะได้ว่า
$$\int(\sqrt[x]{2}-1) \,dx =x (\sqrt[x]{2}-1) -\log 2 \cdot\rm{Ei} \left(\frac{\log 2}{x}\,\right) +C$$
เมื่อ $\rm{Ei}(x)$ คือ
Exponential Integral Function
จากกราฟของ $\rm{Ei} (x)$ เราจะพบว่า $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\rm{Ei}(x)=-\infty}$
ดังนั้น $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\left(\log 2 \cdot\rm{Ei} \left(\frac{\log 2}{x}\,\right)\,\right) =\infty}$
นั่นคือพจน์ขวาของอินทิกรัลลู่ออก และจาก $\displaystyle{\lim_{x\to \infty}x (\sqrt[x]{2}-1)=0}$
ดังนั้น $x (\sqrt[x]{2}-1) -\log 2 \cdot\rm{Ei} \left(\frac{\log 2}{x}\,\right)$ เป็นลำดับลู่ออก นั่นคือ $\displaystyle{\sum_{n = 1}^{\infty} [\sqrt[n]{2} -1]}$ ลู่ออกโดย integral test (ผมใช้อาวุธหนักเกินจนแบกไม่ขึ้น
)