1.
ให้ $f(a)$ มีค่าน้อยที่สุด(well ordering) ถ้า $a>1$ แทน n ด้วย a-1 จะเกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น a=1
นั่นคือ f(1) มีค่าน้อยสุด(และมีเพียงตัวเดียวด้วย)
สมมติให้ $f(b)$ มีค่าน้อยรองลงมาจาก$f(1)$ และเห็นได้ว่า $b>1$
แทน n ด้วย b-1 ได้ $f(b)>f(f(b-1))$
เนื่องจากตัวที่น้อยกว่า $f(b)$ มีเพียงตัวเดียวคือ $f(1)$ ดังนั้น f(f(b-1))=f(1)
แต่เนื่องจาก ไม่มีจำนวนนับ a ตัวอื่นที่ไม่ใช่ 1 ที่ f(a)=f(1) อีกแล้ว จึงได้ f(b-1)=1
ทำให้ได้ว่าค่าของ f ที่น้อยสุดคือ 1 นั่นคือ f(1)=1 รวมทั้ง b-1=1 อีกด้วย
ทำต่อโดยการอุปนัย ใช้หลักการคล้ายๆแบบนี้ครับ
|