เปลี่ยนตัวแปร $x=a^{2}, y=b^{2}, z=c^{2}$ อสมการกลายเป็น
$\displaystyle{\sum_{cyc}}\dfrac{a^3}{\sqrt{a^3+4b^{2}c^{4}+4b^{4}c^{2}}}\geq 1$
Normalize โดยให้ $a^3+b^3+c^3=1$ แล้วใช้ jensen กับฟังก์ชัน $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ ซึ่งเป็นฟังก์ชันนูน จะได้
$\displaystyle{\sum_{cyc}}\dfrac{a^3}{\sqrt{a^6+4b^{2}c^{4}+4b^{4}c^{2}}}\geq \dfrac{1}{\sqrt{\displaystyle{\sum_{cyc}}(a^9 +4ab^{2}c^{4}+4a^{3}b^{4}c^{2})}}$
สังเกตว่าตัวส่วนเป็นดีกรี 3 ดังนั้นเราควรจะพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\sum_{cyc}}(a^3 +4a^3b^{2}c^{4}+4a^3b^{4}c^{2})\leq (a^3+b^3+c^3)^3$ ซึ่งจะทำให้ได้อสมการที่ต้องการทันที
เมื่อกระจาย จะกลายเป็น
$4\displaystyle{\sum_{cyc}}a^3b^2c^4+a^3b^4c^{2}\leq 3\displaystyle{\sum_{cyc}}(a^6b^3+b^6a^3)+6a^3b^3c^3$
ที่เหลือช่วยทำต่อทีครับ พิสูจน์ไม่ได้ แต่ก็หาตัวอย่างแย้งไม่ได้ครับ
|