อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555
เป็นโจทย์แนว TMO 2-3 ปีที่แล้วครับ
3. ให้ $a_1,a_2,...,a_{n-1} \ge 0$ และ $f(x)=x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+1$
ถ้าสมการ $f(x)=0$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริงทั้งหมด จงพิสูจน์ว่า $f(2) \ge 3^n$
|
ให้ $x_{1},...,x_{n} \in \mathbb{R} $ เป็นรากของพหุนาม ซึ่งต้องเป็นจำนวนจริงลบ
กำหนดให้คือ $-x_{1},...,-x_{n}$ โดยที่ $ x_{i} \ge 0$
$$a_{1} = \sum x_{1} \ge \binom{n}{1} $$
$$a_{2} =\sum x_{1}x_{2} \ge \binom{n}{2} $$
$$a_{i} =\sum x_{1}x_{2}...x_{i} \ge \binom{n}{i} \quad, 1 \le i \le n-1$$
จะได้ว่า $f(x) =x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}x+1 \ge (x+1)^n $
ดังนั้น $f(2) \ge 3^n $