ขออนุญาตเริ่มแล้วกันนะครับ ของ่ายๆก่อน อิอิ เริ่มต้นการแก้ปัญหาอสมการไม่มีหลักการตายตัวครับ ก่อนอื่นเราควรจะขีดๆเขียนๆ อสมการที่โจทย์ต้องการแล้วทำย้อนกลับไปก่อนซึ่งเป็น
เทคนิค การทำย้อนกลับ/การจัดรูปไปสู่อสมการอื่นที่สมมูลกัน ซึ่งต้องอาศัยประสบการณ์ครับ เช่น
ตัวอย่าง : ให้ $a,b,c \in \mathbb{R}$ จงพิสูจน์ว่า
\[ a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc\]
แนวคิด : ลองย้ายข้างตัวอสมการที่โจทย์ให้มา เป็น \[a^2+b^2+c^2 - ab - ac - bc \geq 0\]
เราสามารถจัดให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ (อย่างไร?) แล้วจัดกลุ่มได้เป็น
\[ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \geq 0\]
ซึ่งเป็นจริงเสมอ ถึงตอนนี้พอเริ่มพิสูจน์เราก็ทำย้อนกลับ ดังนี้
พิสูจน์ : เนื่องจาก \[ (a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \geq 0,\;\; \forall a,b,c\in \mathbb{R}\]
กระจายกำลังสองสมบูรณ์จะได้ \[2(a^2+b^2+c^2)-2(ab+ac+bc) \geq 0 \]
จัดรูปก็จะได้อสมการที่ต้องการ
ยังมีอีกหลายตัวอย่างนะครับ อันนี้ผมทิ้งไว้เป็นโจทย์ง่ายๆนะครับให้คนที่เข้ามาอ่านลองคิดดู โดยใช้เทคนิคการทำย้อนกลับ
จงพิสูจน์ว่า
1. ให้ $a_1,a_2,x \in \mathbb{R}$ โดยที่ $0<a_1<x<a_2$ จงแสดงว่า \[\frac{1}{x}+\frac{1}{a_1+a_2-x} < \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}\]
2. ถ้า $a\geq b$ และ $x\geq y$ จงแสดงว่า $ax+by\geq ay+bx$
3. กำหนดให้ $0<x<1$ และ $0<y<1$ จงแสดงว่า $0<x+y-xy<1$
ปล. พี่ๆน้องๆท่านใดจะเฉลยก็ ซ่อนข้อความไว้ก็ดีนะครับ เผื่อว่าคนที่เข้ามาใหม่จะได้ลองคิดก่อน
