จากที่คุณ passer-by หาไว้ว่า $$ \int_0^n (1-\frac{x}{n})^n e^x \, dx = \frac{n!e^n}{n^n} -\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}k! \left( \frac{1}{n^k} \right) $$ และเนื่องจาก $$ \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}k! \left( \frac{1}{n^k} \right) = \frac{n!}{n^n} \sum_{k=0}^n \frac{n^{n-k}}{(n-k)!} = \frac{n!}{n^n} \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!} $$ ดังนั้น $$ \int_0^n (1-\frac{x}{n})^n e^x \, dx = \frac{n!}{n^n} \left( e^n - \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!} \right) $$ $$= \frac{n!}{n^n} \left( \frac{n^{n+1}}{(n+1)!} + \frac{n^{n+2}}{(n+2)!} + \cdots \right) $$ $$= \frac{n}{n+1} + \frac{n^2}{(n+1)(n+2)} + \cdots $$ แต่ผมไม่แน่ใจเท่าไหร่ว่า หนทางนี้จะนำไปสู่คำตอบได้นะครับ
|