ก่อนอื่นพิจารณา Lemma ที่จะนำไปพิสูจน์อสมการอื่นต่อไป และ เป็นตัวอย่างที่ใช้แคลคูลัสในการพิสูจน์ ดังนี้
Lemma : ให้ $t \in (0,1)$ และ $x,y \geq 0$ จะได้ว่า
\[ x^t y^{1-t} \leq tx +(1-t)y\]
จะใช้
เทคนิคทางแคลคูลัส ในการพิสูจน์อสมการนี้ โดยพิจารณาดังนี้
กรณีที่ $x=0$ หรือ $y=0$ จะได้ว่าอสมการเป็นจริง ดังนั้นสมมติให้ $x>0,y>0$ เราจะพิสูจน์อสมการที่สมมูลกันแทนดังนี้ (เอา $y$ หารตลอด)
\[ (\frac{x}{y})^t \leq t(\frac{x}{y}) +1-t\]
สมมติให้ $f(x) = x^t-tx+t-1, \;\; x > 0, t\in (0,1)$ จะได้ว่า $f'(x)=tx^{t-1}-t =t(x^{t-1}-1)$
และ $f''(x)=t(t-1)x^{t-2}$ จะเห็นว่า $f'(x)=0$ ก็ต่อเมื่อ $x=1$ ซึ่งเป็นค่าวิกฤตเพียงค่าเดียว และ $f''(1) <0$ จึงได้ว่า $f$ ให้ค่าสูงสุดสัมบูรณ์ที่ $x=1$ จึงได้ว่า
\[x^t-tx+t-1 =f(x) \leq f(1) = 0 , \forall x>0\] ซึ่ง เป็นอสมการที่ต้องการโดยเปลี่ยนตัวแปร $x$ ไปเป็น $\frac{x}{y}$
: การพิสูจน์ Lemma นี้ไม่จำเป็นต้องใช้แคลคูลัสก็ได้ แต่มีความยุ่งยากกว่าวิธีนี้
จาก Lemma ข้างบนทำให้ได้
อสมการค่าเฉลี่ยเลขคณิตและเรขาคณิตถ่วงน้ำหนัก สำหรับสองจำนวน ดังนี้
สำหรับ $x_1,x_2 \geq 0$ และ $w_1,w_2 \in \mathbb{R}^+$ ซึ่ง $w_1+w_2 =1$
\[ x_1^{w_1}x_2^{w_2} \leq w_1x_1+w_2x_2\]
และใช้การอุปนัยขยายไปเป็น $n$ จำนวนดังนี้
สำหรับ $x_1,x_2,...,x_n \geq 0$ และ $w_1,w_2,...,w_n \in \mathbb{R}^+$ ซึ่ง $w_1+w_2+...+w_n =1$
\[ x_1^{w_1}x_2^{w_2}\cdot ...\cdot x_n^{w_n} \leq w_1x_1+w_2x_2+...+w_nx_n\]
และอสมการเป็นสมการเมื่อ $x_1=x_2=...=x_n$
ตัวอย่างติดไว้ก่อนครับ เดี๋ยวมาเพิ่มให้ (แอบไปอ่านก่อนแหะๆ
)