คิดอยู่หลายวันแล้วครับ... ยังคิดไม่ออก
แต่ละอันมันคอนเวอร์จเร็วเกินไป อืม..อันนี้คิดว่ามีโอกาสน่าจะไปต่อจนสุดได้ แต่ขอหยุดพักไว้ชั่วคราวก่อน nooonuii อย่าเพิ่งเฉลยมาแปะนะครับ.
อสมการสมมูลกับ $\frac{x^2 + xy}{x\sqrt{y+z}} + \frac{y^2 + zx}{y\sqrt{z+x}} + \frac{z^2 + xy}{z\sqrt{x+y}} \ge \sqrt{2} $
สมมติให้ $a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y} , c = \frac{1}{z}$ จะได้ว่า $\frac{1}{\sqrt{a}} + \frac{1}{\sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{c}} = 1 , \quad a, b, c > 1$
จะได้ว่าอสมการสมมูลกับ
$$\frac{a^2 + bc}{a\sqrt{bc(b+c)}} + \frac{b^2 + ca}{b\sqrt{ca(c+a)}} + \frac{c^2 + ab}{c\sqrt{ab(a+b)}} \ge \sqrt{2}$$ ถ่ายทอด
$$\frac{a^2 + bc}{a\sqrt{b^3 + c^3}} + \frac{b^2 + ca}{b\sqrt{c^3 + a^3}} + \frac{c^2 + ab}{c\sqrt{a^3 + b^3}} \ge \sqrt{2}$$ ถ่ายทอด
$$\frac{a^2 + bc}{a(b+c)^{3/2}} + \frac{b^2 + ca}{b(c+a)^{3/2}} + \frac{c^2 + ab}{c(a+b)^{3/2}} \ge \sqrt{2}$$
ส่วนนี่บันทึกการเปลี่ยนตัวแปรที่ลองทำไปแล้ว กันลืมนะครับ เพราะจะขยำกระดาษทดทิ้งแล้ว
โดยไม่เสียนัยทั่วไป สมมติให้ $x \le y \le z$ จะได้ว่า $x \le \frac{1}{9}, z \ge \frac{1}{9}$
1. ให้ $x = \sin A, y = \sin B, z = \sin C , \quad 0 < A, B, C < \frac{\pi}{2}$ ฟังก์ชันเพิ่ม
2. ให้ $\sqrt{x} = \frac{a}{a+b+c} , \sqrt{y} = \frac{b}{a+b+c}, \sqrt{z} = \frac{c}{a+b+c}$ หรือ สลับกัน
3. ให้ $\sqrt{x} = \frac{a^2bc}{a+b+c} = \frac{a}{a+b+c} , ... $ ภายใต้เงื่อนไข $abc = 1$
4. ให้ $A = \sqrt{y+z} , B = \sqrt{z+x} , C = \sqrt{x+y}$ จะได้ $x = \frac{-A^2 +B^2 + C^2}{2} , ...$
5. ให้ $x = (1-a)^2, y = (1-b)^2, z = (1-c)^2, 0 < a, b, c, < 1$ภายใต้เงื่อนไข $a + b + c = 2$