แนวต่อออกไปข้างนอกแล้วไล่ด้านไล่มุม
1.(three radical lemma)
ให้วงกลมมี O เป็นศูนย์กลางผ่านจุดยอด A,C ของสามเหลี่ยม ABC และ AB กับ BC ที่จุด K,N ตามลำดับ
ให้วงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC และ KBN ตัดคนละจุดกันที่ B และ M พิสูจน์ว่า AC,KN,BM มีจุดตัดร่วมกัน
2.จากข้อ 1 ให้พิสูจน์ OMB เป็นมุมฉาก (ใช้ lemma เส้นตั้งฉากร่วมกันกับข้อ 1 สรุปข้อ 2)
3.ให้ w เป็นวงกลมล้อมรอบ ABC วงกลมผ่าน A กับ C ตัดด้าน BC กับ BA ที่ D,E ตามลำดับ
ต่อ AD กับ CE ชน w ที่ G,H ตามลำดับ ให้เส้นสัมผัส w ที่ A กับ C ตัดกับ DE ที่ L,M ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่า LH กับ MG ตัดกันบน w
4.ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมี C เป็นมุมฉาก ให้ D เป็นส่วนสูงลากจาก C ไปชน AB ให้ X เป็นจุดใดๆบน CD
ให้ K,L เป็นจุดบน AX กับ BX ที่ทำให้ BK=BC และ AL=AC ตามลำดับ ให้ M เป็นจุดตัดของ AL กับ BK
จงแสดงว่า MK=ML
แนว Euler's line (แนวๆ G12 TMO8)
5.ให้ A,B,C,D 4 จุด concyclic อยู่บนวงกลม ให้ H1 กับ H2 เป็น orthocenter ของสามเหลี่ยม ACD กับ DBC ตามลำดับ จงพิสูจว่า H1H2 ขนานกับ AB
6.ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่า ให้ TA TB TC เป็นจุดที่ incircle ของ ABC สัมผัสด้าน BC,CA,AB ตามลำดับ
จงพิสูจน์ว่า centroid ของสามเหลี่ยม TATBTC , incenter และ circumcenter ของสามเหลี่ยม ABC
อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน
7.นิยาม TA TB TC เหมือน 6 สะท้อน TA ข้าม TBTC ไปที่ TA' และให้ A' เป็นจุดตัดของ ATA' กับ BC
B' C' นิยามเหมือน A' จงพิสูจน์ว่า A',B',C' อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกันบน Euler line ของ TATBTC
---------------------------------------------------------------------------------
ปล.ข้อ 5 ไม่ยากมาก แต่ 6 7 ยากอยู่ ผมพยายามเก็งจาก TMO8 ถ้าคิดว่ายากเกินก็ข้ามไปเลยครับ
ส่วนตัวมองว่าข้อสอบน่าจะออกแนวใหม่ๆ มากกว่า ไม่เอาแนวเดิมแต่ยากขึ้นมาต่อยอด
|