แนวสร้างเทอมเป็นอนันต์
1.ให้ $k \geq 2$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่ามี $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ และมีลำดับเพิ่ม $a_{1}<a_{2}<...$
ที่ทำให้ $p+ka_{1},p+ka_{2},p+ka_{3},...$ เป็นจำนวนเฉพาะ
แนวใช้ Euler's theorem สร้ามเทอม
2.ให้ลำดับ $a,a+b,a+2b,...$ เป็นลำดับเลขคณิตโดยมี $(a,b)=1$
2.1 จงแสดงว่าลำดับนี้มีลำดับย่อยซึ่งเป็นลำดับอนันต์และมีตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะร่วมกัน
2.2 จงแสดงว่าลำดับนี้มีคู่อันดับที่เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์เป็นจำนวนอนันต์คู่
3.ให้ $m,n \geq 2$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ $(m,n-1)=(m,n)=1$
ให้ลำดับ $n_{1},n_{2},...$ กำหนดโดย $n_{1}=mn+1$ และ $n_{k+1}=nn_{k}+1$
จงแสดงว่าในลำดับ $n_{1},n_{2},...,n_{m-1}$ มีจำนวนประกอบอย่างน้อย 1 ตัว
4.ให้ $a_{t}$ เป็นลำดับนิยามโดย $a_{1}=2$ และ $a_{t+1}=2^{a_{t}}$
ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่ามี M ที่ทำให้ $a_{k} \pmod{n}$ เป็นค่าคงตัวทุก $k \geq M$
(ข้อนี้ยากที่สุด ต้องแบ่งคู่-คี่+อุปนัย)
5.ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะคี่ และ $t$ เป็นจำนวนเต็มบวก
ให้ $m$ เป็นจำนวนเต็มที่ $(m,p)=(m,p-1)=1$ ให้ $a,b$ เป็นจำนวนเต็มบวกต่างกัน มี $(a,p)=(b,p)=1$
จงแสดงว่า $a^{m} \equiv b^{m} \pmod{p^t}$ ก็ต่อเมื่อ $a \equiv b \pmod{p^t}$
แนว Fermat's Number
6.ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกใหญ่กว่า 2 และ $f_{n}=2^{2^n}+1$
จงแสดงว่า ถ้า $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่ $p \mid f_{n}$ แล้ว $p \mid (f_{n-1})^{2^{n+1}}+1$
แนวใช้ฟังก์ชันภาคจำนวนเต็มกับอสมการ
7.ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก
7.1 จงแสดงว่า $n+\left\lfloor\,\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor$ ไม่เป็น square
7.2 จงแสดงว่า ลำดับ $1,2,...,n+\left\lfloor\,\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor$
มีจำนวนเต็มที่เป็น square อยู่ $\left\lfloor\,\sqrt{n}+\frac{1}{2}\right\rfloor$ ตัว
ปล.ข้อ 1-5 เป็นโจทย์ number theory construction
ส่วน 6,7 เป็นโจทย์ทั่วๆไป
เดี๋ยวจะไปหาโจทย์ FE แนวแปลกๆมาเพิ่มให้ครับ
