อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth
ข้อ FE3 ผมตอบแบบนั้นได้หรือเปล่าครับ
ส่วนข้อ 1 สะเพร่าเองครับ T_T
|
ได้เหมือนกันครับ เศษในมอดุโล 2 เขียนออกมาก็เหมือนกัน
ส่วนข้อ 1 ที่ผมเอามาเพราะอยากให้ระวังพวกคำตอบหลุดๆไประหว่างทดนี่แหละครับ
ตอนนี้ผมค่อนข้างมั้นใจว่าข้อสอบ FE ที่กำลังจะมาถึง
ไม่น่าจะใช้อะไรหวือหวาไปกว่าการแทนค่าครับ (แค่ความรู้สึกผมนะ)
-----------------------------------------------------
Direction FE
ข้อ 3
1.เขียนใหม่เป็น $f(x)-f(x+y) \geq \frac{f(x)y}{f(x)+y}$
2.แทน $x$ เดิมด้วย $x+\frac{k}{n}$ ที่ทำแบบนี้เพราะจะให้ $f(x)-f(x+y)$ telescopic กัน
โดยการ take $k=0,1,...,n-1$
3.แทนใหม่ $f(x+\frac{k}{n})-f(x+\frac{k+1}{n}) \geq \frac{f(x+\frac{k}{n})\frac{1}{n}}{f(x+\frac{k}{n})+\frac{1}{n}}$
4.ตรงก้อนๆเศษส่วน เราต้องพยายาม bound ไปชนค่าคงตัวดีๆสักค่า
เราเลือกให้ $n$ เป็นค่าที่ทำให้อสมการนี้เป็นจริง $\frac{f(x+\frac{k}{n})\frac{1}{n}}{f(x+\frac{k}{n})+\frac{1}{n}} > \frac{1}{2n}$
5.take $k=0,1,...,n-1$ จับบวกกันได้อสมการมาอันนึง take $m$ such $m \geq 2f(x)$ เพื่อที่ว่า
$f(x)-f(x+m)=f(x)-f(x+1)+...+f(x+m-1)-f(x+m) > \frac{m}{2} \geq f(x)$
contradiction!
Note: สังเกตดูว่าโจทย์แนว prove that no function พวกนี้จะต้องสร้างข้อมูลมาทำข้อขัดแย้ง
ส่วนรายละเอียดเวลาสร้างข้อมูลก็อยู่รอบๆสมการที่มันให้มานั่นแหละ
แนวนี้ผมเอามาให้ไว้กันเหนียวนะครับ ไม่ต้องซีเรียส ถ้ามันจะมีพวกพิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชัน
มันน่าจะออกเป็น equation มากกว่า inequalities
--------------------------------------------------------
Direction NT(2)
ข้อ 1
1.แยก $p$ even ออกไปก่อน ต่อไปสนใจ $p$ odd
2.เขียนสมการใหม่เป็น $\frac{(2^{\frac{p-1}{2}}+1)(2^{\frac{p-1}{2}}-1)}{p}$
3.พิสูจน์ว่าตัววงเล็บข้างบน p ในข้อ 2 เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน (มี q หาร ทั้งคู่ลง เป็นไปไม่ได้)
4.ดู $\frac{2^{\frac{p-1}{2}}+1}{p}$ พิสูจน์ว่า $(\frac{2^{\frac{p-1}{2}}+1}{p},2^{\frac{p-1}{2}}-1)=1$
(สมมติมี $t$ หารทั้งคู่ลง แล้วใช้ congruence prove ว่าเป็นไปไม่ได้)
5.จาก gcd ข้างบนสรุปว่าทั้ง $\frac{2^{\frac{p-1}{2}}+1}{p}$ และ $2^{\frac{p-1}{2}}-1$
ต้องเป็น square เหมือนกัน
6.ให้ $2^{\frac{p-1}{2}}-1=(2k+1)^2$ กระจาย วิเคราะห์ออกมาจะได้ $\frac{p-1}{2} < 2$
7.ได้ $p=3$ เป็นหนึ่งคำตอบ อีกอันให้ $2^{\frac{p-1}{2}}+1=(2m+1)^2$ กระจาย
วิเคราะห์ตัวประกอบดูจะเห็นว่า $m=1$ แก้ได้ $p=7$ อีกคำตอบ
ข้อ 2
1.ดู $a,b$ จะเห็นว่าต้อง both odd or even
2.case odd เอา modulo 4 มาวิเคราะห์จะเห็นว่า $n=1$ therefore $a=b=1$
3.case even ให้ $k$ เป็นเลขใหญ่สุดที่ $2^{k}$ หาร $a,b$ ลง สมการนี้
$(\frac{a}{2^k})^2+(\frac{b}{2^k})^2=2^{n-2k}$ จะบังคับว่า $(a,b,n)=(2^k,2^k,2k+1)$
ข้อ 3
1.แบ่ง p odd p even ก่อน แยกตัว even ออกไป
2.สำหรับ p odd $5 \mid 2^p+3^p$ ได้ $5 \mid a^n$ วิเคราะห์ต่อได้ $25 \mid 2^p+3^p$
3.จากข้อมูลสุดท้าย มองเป็น $(5-2)^p+2^p=5p2^{p-1}+25k$ บาง $k$ (binomial กระจาย)
4.มันจะได้ $5 \mid p2^{p-1}$ จะบังคับว่า $p=5$ เอาไปเชคกับ $a^{n}$ ได้เลย