14. ยังไม่ค่อยมั่นใจครับว่าถูกหรือเปล่า
จาก $f(x^2 + xf(y)) = xf(x+y)$___________________________________$(1)$
แทน $x=0$ ใน $(1)$ ได้ $f(0)=0$
แทน $y=0$ ใน $(1)$ได้ $f(x^2)=xf(x)$_________________________________$(2)$
ต่อไปจะพิสูจน์ว่ามี $a$ เพียงค่าเดียวคือ $0$ ที่ทำให้ $f(a)=0$ โดยการสมมุติว่ามีค่า $a$ ดังกล่าวที่ไม่เท่ากับ $0$
แทน $y=a$ ได้ $f(x^2)=xf(x+a)$ เมื่อใช้ร่วมกับ $(2)$ จะได้ว่า $f(x)=f(x+a)$ ซึ่งขัดแย้งกับความไม่เป็นฟังก์ชันคาบของ $f$
แทน $(x, y)=(-f(y), y)$ ใน $(1)$ จะได้ $f(y)f(y-f(y))=0$
ดังนั้น $f(y)=0$ หรือ $f(y-f(y))=0$
แต่ถ้า $f(y)=0$ มันจะขัดแย้งกับความไม่เป็นฟังก์ชันคาบของ $f$ ดังนั้นต่อไปจะพิจารณา $f(y-f(y))=0$
เนื่องจาก $f(a)=0$ ก็ต่อเมื่อ $a=0$ ดังนั้น $y-f(y)=0$ ทำให้ได้ฟังก์ชันเอกลักษณ์เป็นคำตอบ
นั่นคือมี $f$ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นคือ $f(x)=x$
12 มิถุนายน 2015 17:34 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut
|