[FranceZii Siriseth]

Set $P(x,y):f(1+xy)-f(x+y)=f(x)f(y)$

$P(1,-1) :f(1)f(-1)=0$ ดังนั้น $f(1)=0$

$P(x,0) : f(1)-f(x)=f(x)f(0)$

$f(x)=0$ , หรือ $f(0)=-1$

กรณี $f(0)=-1$ ให้ $g(x)+x-1=f(x)$ ยัดกลับเลยครับ

ได้ $g(1+xy)+g(x)+g(y)=g(x)g(y)+g(x+y)+xg(y)+yg(x)$ แทน $y=1$

$g(1+x)=g(x)$ , $g(x)$ มีคาบ $=1$ เนื่องจากโดเมนเป็น $\mathbb{Z}$ ได้ $g(x)=0$

ตอบ $f(x)=0,x-1 \forall x \in \mathbb{Z}$