[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

จงหาจำนวนจริง $x,y,z$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ

\begin{align*}
x(1+y+y^2) &= 1+z+z^2 ...(1)\\
y(1+z+z^2) &= 1+x+x^2 ...(2)\\
z(1+x+x^2) &= 1+y+y^2 ...(3)
\end{align*}

จาก $1+x+x^2 = 0 $ ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนจริง คูณกันทั้งหมดจะได้ $xyz = 1$

สมมติมี 2 ตัวน้อยกว่า 0 สมมติคือ $x,y$

จาก(2) จะได้ $1+x+x^2 < 0$ จะได้ $(1+x)^2 < x < 0$ เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น $x,y,z > 0$

บวกกันทั้งสามสมการจะได้ $(x-1)(1+y+y^2) + (y-1)(1+z+z^2) + (z-1)(1+x+x^2) = 0$

คูณ $(y-1)$ ใน (1) ได้ $x(y^3-1) = (y-1)(1+z+z^2)$

ทำในทำนองเดียวกันกับอีกสองสมการแล้วบวกทั้งสามสมการได้

$x(y^3-1) + y(z^3-1) + z(x^3-1) = (x-1)(1+y+y^2) + (y-1)(1+z+z^2) + (z-1)(1+x+x^2)$

$x(y^3-1) + y(z^3-1) + z(x^3-1) = 0$

$xy^3 + yz^3 + zx^3 = x+y+z$

$\dfrac{y^2}{z} + \dfrac{z^2}{x} + \dfrac{x^2}{y} = x+y+z$

โดยโคชีจะได้

$\dfrac{y^2}{z} + \dfrac{z^2}{x} + \dfrac{x^2}{y} \geqslant \dfrac{(x+y+z)^2}{x+y+z} = x+y+z$

ซึ่งเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $\dfrac{y}{z} = \dfrac{z}{x} = \dfrac{x}{y}$

จะได้ว่า $x=y=z=1$