ต่อไปกลับมาแบบบ้านๆกันบ้างครับ อันนี้ผมแค่สงสัยว่าทำไมมันดูไม่ค่อยมีอะไร ?
7. Suppose that $\{ x_n\}$ is a real seqence. Prove that \[ -\limsup_{n\rightarrow \infty}x_n = \liminf_{n\rightarrow \infty} (-x_n), \; \; \; -\liminf_{n\rightarrow \infty}x_n = \limsup_{n\rightarrow \infty} (-x_n)\]
Proof : Since ${\displaystyle -\sup_{k\geq n}x_k = \inf_{k\geq n}(-x_k) } $. Then \[ -\lim_{n\rightarrow \infty}\sup_{k\geq n}x_k = \lim_{n\rightarrow \infty}\inf_{k\geq n}(-x_k) \Rightarrow -\limsup_{n\rightarrow \infty}x_n = \liminf_{n\rightarrow \infty}(-x_n)\]
Similarly, ${\displaystyle -\inf_{k\geq n}x_k = \sup_{k\geq n}(-x_k) } $ we can conclude that \[-\liminf_{n\rightarrow \infty}x_n = \limsup_{n\rightarrow \infty} (-x_n)\]
เดี๋ยวมีชุด limsup กะ liminf มาต่อครับ
