[Thgx0312555]

induction ว่า $2^{3^k}+1$ มีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย $k$ ตัว
ขั้นฐาน $k=1$ เห็นได้ชัด
ขั้นอุปนัย จาก $2^{3^{k+1}}+1=(2^{3^k}+1)(2^{2\cdot 3^k}-2^{3^k}+1)$
และ $\gcd(2^{3^k}+1,2^{2\cdot 3^k}-2^{3^k}+1)=3$
แต่ $2^{2\cdot 3^k}-2^{3^k}+1=2^{3^k}(2^{3^k}-1)+1>3$

เพราะฉะนั้นมี $p \mid 2^{2\cdot 3^k}-2^{3^k}+1$ แต่ $p \nmid 2^{3^k}+1$
$2^{3^{k+1}}+1$ มีตัวประกอบเฉพาะอย่างน้อย $k+1$ ตัว

สามารถใช้ induction พิสูจน์คล้ายๆกันว่า $3^k \mid 2^{3^k}+1$ (ใข้ fact ที่ว่า $3 \mid 2^{2\cdot 3^k}-2^{3^k}+1$)

ให้ $p_2,p_3,...,p_k$ เป็นตัวประกอบเฉพาะของ $2^{3^k}+1$ ที่ไม่ใช่ $3$ (เห็นได้ชัดว่า $p_i \neq 2$)
$\therefore 3^{k}p_2\cdots p_k \mid 2^{3^{k}p_2\cdots p_k}+1$