[กขฃคฅฆง]

$\dfrac{sin^2xcosx+sinxcos^2x+sin^2x+cos^2x+cosx+sinx}{sinxcosx} = 8$

$sinxcosx(sinx+cosx)+sinx+cosx+1 = 4(2sinxcosx)$

จาก $(sinx+cosx)^2 = 1+2sinxcosx$

ให้ $sinx+cosx=a$ จะได้ $2sinxcosx = a^2-1$

$(\frac{a^2-1}{2})a+a+1 = 4(a^2-1)$

$(a+1)[(\frac{a-1}{2})a+1] = 4(a+1)(a-1)$

$(a+1)(a^2-9a+10) = 0$

$a = -1 , \frac{9+\sqrt{41} }{2} , \frac{9-\sqrt{41} }{2} $

ถ้า $a=-1$ จะได้ $2sinxcosx = 0$ จะได้ว่า $sinx=0$ หรือ $cosx=0$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

จาก $sinx+cosx \leqslant 2 $

$\therefore sinx+cosx = \frac{9-\sqrt{41} }{2}$

$sin2x = (\frac{9-\sqrt{41} }{2})^2-1 = \frac{59-9\sqrt{41} }{2} $

ถ้า $a$ เป็นคำตอบแล้วจะได้ว่า $\frac{\pi }{2} -a$ เป็นคำตอบด้วย ดังนัั้นคำตอบจะอยู่ทั้งในช่วง $(0,\frac{\pi}{4})$ และในช่วง $(\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2})$ ($0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2}$ ไม่ใช่คำตอบ)

ดังนั้น $2x$ จะอยู่ทั้ง $Q_1$ และ $Q_2$ จะได้ว่า $cos2x$ มีทั้งค่าบวกและลบ

$cos2x = \pm \sqrt{1-(\frac{59-9\sqrt{41} }{2})^2} =\pm \frac{\sqrt{1062\sqrt{41} -6798}}{2} $

$tan2x = \pm \frac{59-9\sqrt{41}}{\sqrt{1062\sqrt{41} -6798}} $