ให้เเนวคิดคร่าวๆลองไปทำละเอียดตามที่บอกนะครับ
7. จัดรูปในก้อนนั้นได้ $\frac{23}{x^3}[(8-\sqrt{64-x^2} )(\sqrt{8+x}-\sqrt{8-x})] $
จับ rationalization ( = คอนจูเกต ตามภาษาที่เราชอบเรียกกัน) ทั้งสองวงเล็บด้านหลังก็ทำให้กำจัดเจ้า $x^3$ ได้เเล้วครับ
8. เเนวนี้ไม่มีอะไรเลยครับ ... คือเค้าถาม f(0) เราก็เเทนลงไปเเล้วก็ไล่ไปตามเงื่อนไขของเค้า เเต่เราก็ต้องสังเกตอะไรบางอย่างไปด้วยระหว่างที่เราทำเพราะไม่งั้นชาตินี้คงได้เขียนไปอีกยาว 5555
$$f(0) = f(f(2001)) = f(f(f(4002))) = f(f(2002))$$
จากตรงนี้เราพอไปต่อได้เลยว่ามันจะเกิดเป็น $=f(f(2003)) = f(f(2004)) = f(f(2005)) = ... = f(f(2012))= f(f(2013)) = f(13)$ ถูกมั้ยครับ
เราก็เลยมองไปต่อจาก $f(0)=f(13)$ว่า
$f(0)=f(13)=f(14)=f(15)=.... = f(2012) = f(2013)$
เราเลยได้ว่า $f(0) = f(2013) = 2013-2000 = 13$
9. ทางด้านซ้ายได้ออกมาเป็น
$$\sqrt{2}sin(3x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{4}$$
$$sin(3x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{4\sqrt{2}}$$
เเละมุมที่เราจะดูอยู่ในช่วง $\frac{\pi}{4}\leqslant 3x+\frac{\pi}{4}\leqslant 27\pi + \frac{\pi}{4}$
ต่อไปเราต้องมาเเกะว่า sin อะไรหว่า ได้ $\frac{1}{4\sqrt{2}}$ ก็ลองคิดดูว่า $sin\frac{\pi}{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ ดังนั้นมุมที่ทำให้ $sin ?? = \frac{1}{4\sqrt{2}}$ มันต้องน้อยกว่า \frac{\pi}{4} เเน่นอน สมมตว่าคำตอบนั้นเป็น $A$ นั่นเเปลว่าใน 1 รอบการหมุนจาก $\frac{\pi}{4}$ ถึง $\frac{\pi}{4} + 2\pi$ ก็จะผ่านคำตอบทั้งหมด 2 ครั้ง นั่นคือ $180-A$ กับ $360 + A$ (นึกไม่ออกลองวาดรูปดูนะครับเเล้วจะเห็นภาพ)
$\frac{\pi}{4}$ ถึง $\frac{\pi}{4} + 2\pi$ โดนคำตอบไป 2 ครั้ง
$\frac{\pi}{4}+2\pi$ ถึง $\frac{\pi}{4} + 4\pi$ โดนคำตอบไป 2 ครั้ง
$\frac{\pi}{4}+4\pi$ ถึง $\frac{\pi}{4} + 6\pi$ โดนคำตอบไป 2 ครั้ง
ไปเรื่อยๆ
$\frac{\pi}{4}+24\pi$ ถึง $\frac{\pi}{4} + 26\pi$ โดนคำตอบไป 2 ครั้ง
สุดท้าย
$\frac{\pi}{4}+2ุ6\pi$ ถึง $\frac{\pi}{4} + 27\pi$ โดนคำตอบไป 1 ครั้ง
สรุปว่ามีคำตอบทั้งหมด 27 คำตอบ
10. จากสูตรที่โด่งดังมากๆๆๆๆในอดีตการสอบ entrance ซึ่งนานเหลือเกินว่า
$$det(adj(A)) = det(A)^{n-1}$$
เมื่อ n เป็นมิติของ matrix
อัดเข้าไปในสิ่งที่เค้าให้มา เเล้วจะได้ว่าคำตอบเป็น 8 ดังนั้น det(A) = 2