อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ mark123 ^.^
1. กำหนดให้ $n$ เ้ป็นจำนวนคู่ จงหาค่าของ
$\lim_{n \to \infty }({\int_{0}^{\frac{\pi}{2} }\,sin^{n}x dx })$
2. กำหนดให้ $I_{n} = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\,tan^{n} x dx $ จงหาค่าของ
$\lim_{n \to \infty}nI_{n}$
ช่วยหน่อยครับ |
ข้อ 1. ให้ $u = \sin^{n-1}x \,dx$ , $dv = \sin x \,dx$ และ $I_n = \int_{0}^{\pi/2}\sin^n x \,dx $
จากนั้นใช้อินทิกรัลแบบแยกส่วน (integration by parts) จะได้
$I_n = 0 +(n-1)[I_{n-2} - I_n]$
ซึ่งจัดรูปเป็น $I_n = \frac{n-1}{n}I_{n-2}$
จะได้ $I_0 = \frac{\pi}{2}, I_2 = \frac{1}{2}I_0 = \frac{1}{2}\cdot \frac{\pi}{2}$
โจทย์กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนคู่ จะได้ $I_n = \frac{(n-1)(n-3)\ldots 5 \cdot 3 \cdot 1 }{n(n-2)\ldots 6\cdot 4 \cdot 2}\cdot \frac{\pi}{2}$
ลิมิตหาเอาเองครับ.
Note. เนื่องจาก $\int_{0}^{a} f(x)\,dx = \int_{0}^{a} f(a-x)\,dx$
ดังนั้นจึงได้ $\int_{0}^{\pi/2}\sin^n x \,dx = \int_{0}^{\pi/2}\cos^n x \,dx $
ข้อ 2. ลองแสดงให้ได้ว่า $I_n + I_{n-2} = \frac{1}{n-1}$ ครับ.