[nooonuii]

5. สมมาตรของตัวแปร

โดยไม่เสียนัยทั่วไป (Without loss of generality หรือเขียนสั้นๆว่า WLOG) เป็นคำพูดสั้นๆที่ใช้แทนการเขียนพิสูจน์โดยการเลือกพิสูจน์กรณีเฉพาะกรณีหนึ่ง แต่บทพิสูจน์สามารถเป็นตัวแทนสำหรับการพิสูจน์ในกรณีอื่นๆและครอบคลุมกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด

สำหรับการพิสูจน์อสมการนั้น เราไม่สามารถใช้คำนี้ได้เสมอไ้ป แต่จะมีอสมการอยู่ประเภทหนึ่งซึ่งเราสามารถพิสูจน์เพียงกรณีเดียวแต่ส่งผลให้อสมการเป็นจริงในกรณีที่เหลือทั้งหมด อสมการประเภทนี้เราเรียกว่า อสมการที่มีสมมาตรในตัวแปร โดยทั่วไปการพิสูจน์อสมการนั้นเราอาจจะต้องเรียงค่าให้กับตัวแปรเพื่อนำเอาข้อสมมติจากการเรียงค่าให้ตัวแปรมาใช้ประโยชน์ด้วย แต่การแยกกรณีจะทำให้เราต้องเขียนบทพิสูจน์เยอะมากซึ่งไม่สะดวก สำหรับอสมการที่มีสมมาตรในตัวแปรเราสามารถเลือกพิสูจน์เพียงกรณีเดียว และโดยไม่เสียนัยทั่วไป อสมการจะจริงสำหรับทุกกรณี คราวนี้อสมการแบบไหนที่เราเรียกว่ามีสมมาตรในตัวแปร ?

อสมการที่มีสมมาตรในตัวแปร คือ อสมการซึ่งไม่ว่าเราจะเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรด้วยวิธีใดก็ตามเราก็ยังคงได้อสมการเดิม เช่น อสมการ

$$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq\frac{3}{2}$$

ถ้าเราเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรด้งนี้ $a\to c, b\to a, c\to b$ แล้วแทนค่ากลับไปเราจะได้อสมการ

$$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}\geq\frac{3}{2}$$

ซึ่งจะเห็นว่ายังคงเป็นอสมการเดิม สำหรับการเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรวิธีอื่นๆ(วิธีเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรสำหรับสามตัวแปรมีอยู่ทั้งหมด 6 วิธี) ก็จะให้อสมการเดียวกัน อสมการนี้จึงมีสมมาตรในตัวแปร

ต่อไปลองดูอสมการนี้บ้าง

$$a^3+3b^3+9c^3 \geq 9abc $$

ถ้าเราทำการเรียงสับเปลี่ยนตัวแปรเสียใหม่ดังนี้ $a\to b,b\to c,c\to a$ เราจะได้อสมการเป็น $$b^3+3c^3+9a^3 \geq 9bca$$

ซึ่งจะเห็นว่าเราไม่ได้อสมการเดิม อย่างนี้ถือว่าอสมการไม่มีสมมาตรในตัวแปร ครับ