1. กำหนดให้สี่เหลี่ยมผืนผ้ามา 1 รูป กว้าง $m$ หน่วย ยาว $n$ หน่วย จงบอกวิธีสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับ $\dfrac{m^2+n^2}{2}$ ตารางหน่วยพร้อมพิสูจน์ให้เห็นจริง
2. ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ให้ $h_a, h_b, h_c$ เป็นความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ลากจากจุด $A, B, C$ และ $r_a, r_b, r_c$ เป็นรัศมีวงกลมแนบนอกของรูปสามเหลี่ยม ABC จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}$$
3. ให้จุด $O$ เป็นจุดภายในรูปสามเหลี่ยม $ABC$
3.1 ลาก $OA, OB, OC$ ตัดด้าน $BC, AC, AB$ ที่จุด $A_1,B_1, C_1$ จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{OA_1}{AA_1}+\frac{OB_1}{BB_1}+\frac{OC_1}{CC_1}=1$$
3.2 ให้ $O_1, O_2, O_3$ เป็นภาพสะท้อนของจุด $O$ โดยมีแกนเป็น $BC, AC, AB$ ลาก $O_1A, O_2B, O_3C$ ตัดด้าน $BC, AC, AB$ ที่จุด $A_2,B_2, C_2$ จงพิสูจน์ว่า
$$\frac{AO_1}{AA_2}+\frac{BO_2}{BB_2}+\frac{CO_3}{CC_2}=4$$
4. ให้ $I$ เป็น incenter ของสามเหลี่ยม $ABC$ และ incircle ของสามเหลี่ยม $ABC$ สัมผัสด้าน $BC, AC, AB$ ที่จุด $D, E, F$ ถ้า $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BC$ จงพิสูจน์ว่า $EF, DI, AM$ ตัดกันที่จุดเดียว ]
จงใช้อสมการ AM-GM-HM, อสมการ weighted-AM-GM, อสมการ Cauchy Schwarz, อสมการ Modified Cauchy Schwarz, หรือความรู้พื้นฐานเพื่อพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้
1. ($a, b, c>0$)
$$\sum_{cyc}(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}\geq 4(ab+bc+ca)$$
2. ($x, y, z>0$, $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq x^2y^2z^2$) หาค่าต่ำสุดของ
$$\sum_{cyc}\frac{x^2y^2}{z^3(x^2+y^2)}$$
3. ($a, b, c>0$)
$$\sum_{cyc}\frac{a^3b}{a^4+a^2b^2+b^4}\leq 1$$
4. ($a, b, c>1$)
$$\sum_{cyc}\frac{a^3}{b+c}>\frac{3}{2}$$
5. ให้ $H_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$ สำหรับทุก $n\in\mathbb{N}$ จงใช้ induction เพื่อพิสูจน์ว่า $H_{2^n}\geq 1+\dfrac{n}{2}$ สำหรับทุก $n\in\mathbb{N}$
1. จงหาผลรวมของ $\overline{abcd}$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ซึ่งทำให้ $\overline{2a7b}-\overline{18cd}=341$ และ $8\mid\overline{7d2}$ (8 คะแนน)
2.1 จงพิสูจน์ว่าถ้า $3(a^2+b^2+c^2+d^2)=2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$ แล้ว $a=b=c=d$ (4 คะแนน)
2.2 จงหาค่าของ $a,b,c,d$ ที่ทำให้ $a+b+c+d=40$ และ $ab+ac+ad+bc+bd+cd=600$ (4 คะแนน)
3. ให้ $a>0$ และ $f(x)=\dfrac{a^{2x}}{a^{2x}+a}$ เมื่อ $x\in\mathbb{Q}^+$ จงหาค่าของ
$$\sum_{i=0}^{n-m}f\left(\frac{m+i}{n}\right)+\sum_{i=1}^{n-m}f\left(\frac{i}{n}\right)$$ (12 คะแนน)
4. ให้ $P(x)$ เป็นพหุนาม Quadratic และเป็น Monic ที่ทำให้มี $\alpha\in\mathbb{R}$ ที่ทำให้ $P(\alpha)=P(P(P(\alpha)))=0$ จงพิสูจน์ว่า $P(0)P(1)=0$ (10 คะแนน)
5. ให้ $a,b,c\in\mathbb{R}$ จงพิสูจน์ว่าหนึ่งในสามสมการต่อไปนี้ต้องมีรากจริง
$x^2+(a-b)x+(b-c)=0$, $x^2+(b-c)x+(c-a)=0$, $x^2+(c-a)x+(a-b)=0$
(12 คะแนน)
1. ให้ $m,n\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $(2m+1,2n+1)=1$ จงพิสูจน์ว่า $(2^{2m+1}+2^{m+1}+1,2^{2n+1}+2^{n+1}+1)=1\ หรือ\ 5$
2. ให้ $n$ เป็นจำนวนประกอบ จงแสดงว่าไม่มี $k\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $(n-1)!+1=n^k$
3. จงหา $(m,n)\in\mathbb{N}^2$ ที่ทำให้ $2^m+3^n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
4. จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ที่ทำให้ $4p^2+1,\ 6p^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะพร้อมกัน
5. จงแสดงว่ามี $n\in\mathbb{N}$ เป็นอนันต์ที่ทำให้ $n\mid 2^n+1$
1. จงเติมคำตอบ
1.1 จงหาสัมประสิทธิ์หน้า $x^4$ ของ $(x^2+2x-1)^7$
1.2 มีจำนวนนับที่น้อยกว่า $1000$ กี่จำนวนที่แต่ละหลักไม่ซ้ำกันเลย
2. จงพิสูจน์ว่า
2.1 $\displaystyle{\left[\sum_{i=0}^{k}\binom{m}{i}\binom{m-i}{k-i}\right]\binom{m-k}{r-k}=2^k\binom{r}{k}\binom{m}{r}}$ ทุกจำนวนนับ $m\geq r\geq k$
2.2 $\dfrac{(9n)!}{2^{3n}3^{2n}}\in\mathbb{N}$ ทุกๆ $n\in\mathbb{N}$
3. ญาญ่าแจกลูกบอล 10 ลูกต่างกันให้เด็ก 3 คน โดยที่ถ้าเด็กคนที่ 1 ได้ลูกบอลเป็นจำนวนคู่ลูก ญาญ่าจะได้ 1 แต้ม แต่ถ้าเด็กคนที่ 1 ได้ลูกบอลเป็นจำนวนคี่ลูก ญาญ่าจะเสีย 1 แต้ม จงหาผลรวมของแต้มที่ญาญ่าจะได้เมื่อคำนวณจากทุกวิธีที่เป็นไปได้
4. ให้ $n\in\mathbb{N}$ จงหาเซตซ้ำย่อยที่มีสมาชิก $2n$ ตัวของ $\{1\cdot a_1,\ n\cdot a_2,\ n\cdot a_3,\ \infty\cdot a_4\}$
5. มีข่าวลือแพร่ในกลุ่มคนที่มี 10 คน ซึ่งจับกันเป็นคู่ๆ 5 คู่ สองคนที่จับคู่กันจะเรียกว่าเป็น "คู่หู" กัน ข่าวลือจะถูกแพร่โดยส่งต่อทางโทรศัพท์ไปเรื่อยๆ โดยมีเงื่อนไขว่า เมื่อเริ่มต้น มีผู้รู้ข่าวลือเพียงคนเดียว และผู้รับข่าวลือจะโทรหาใครก็ได้ ที่ไม่ใช่คนที่โทรบอกตนเอง หรือ คู่หูของคนที่โทรบอกตนเอง หรือ คู่หูของตนเอง
5.1 ถ้ามีการโทรทั้งหมด $n$ ครั้ง จะมีเส้นการแพร่ข่าวลือในกลุ่มกี่วิธี
5.2 ให้ณเดชณ์กับปกรณ์ไม่ใช่คู่หูกัน ถ้าณเดชณ์ไม่ได้เป็นผู้เริ่มข่าวลือจงหาความน่าจะเป็นที่การโทรครั้งที่ 3 จะโทรหาปกรณ์