ไม่ได้มาแวะเวียนซะนาน 55555
ข้อ 34
ให้ $k \in \mathbb{N} $ สังเกตว่า $\displaystyle{\left\lfloor\,\frac{3}{\sqrt{x}}\right\rfloor=k \geqslant 3}$ ( เพราะว่า $0 < x \leqslant 1$)
เมื่อ $\displaystyle{n \leqslant \frac{3}{\sqrt{x}} < k+1}$ เราจะได้ว่า $\displaystyle{\frac{9}{(k+1)^2} < x \leqslant \frac{9}{k^2}}$
ดังนั้น $$\displaystyle{\int_{\frac{9}{(k+1)^2}}^{\frac{9}{k^2}}\left\lfloor\,\frac{3}{\sqrt{x}}\right\rfloor dx=k\left(\,\frac{9}{k^2}-\frac{9}{(k+1)^2}\right) =\frac{9}{(k+1)^2}+\frac{1}{k(k+1)}}$$
กำหนดลำดับ $a_{n}=\displaystyle{\frac{9}{(n+2)^2}}$ จะได้ว่า $a_{1}=1$ และลำดับนี้ลู่เข้าสู่ 0 เมื่อ $n$ มีค่ามากๆ
เราจะได้ว่า $$B=\int_{0}^{1}\left\lfloor\,\frac{3}{\sqrt{x}}\right\rfloor dx =\sum_{n = 1}^{\infty} \int_{a_{n+1}}^{a_{n}}\frac{3}{\sqrt{x}}dx =9\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n+3)^2}+9\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{(n+2)(n+3)}=9\left(\,\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\ldots \right)+3 $$
ดังนั้น เราจะได้ว่า $$12A-B=12\left(\,\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\ldots \right)-9\left(\,\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\ldots \right)-3=9\left(\,\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}\right)-3=\frac{37}{4}$$
ป.ล. ข้ามขั้นตอนจัดรูปตอนท้ายๆมาหน่อยนะครับ
ถ้าผิดตรงไหนขออภัยด้วย