[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 26 เห็นว่าต้องใช้โลปิตาลและก็ดิฟผลหารด้วย (ไม่แน่ใจว่า ม.ปลายสอนมั้ย)

จากโจทย์จะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{x \to \infty} x\left(\,\arctan\left(\,\frac{x+1}{x+2}\right)-\arctan\left(\,\frac{x}{x+2}\right) \right) }=\lim_{x \to \infty} \frac{\arctan\left(\,\displaystyle{\frac{x+2}{2x^2+5x+4}}\right) }{\displaystyle{\frac{1}{x}}}$ ซึ่งอยู่ในรูปแบบไม่กำหนด $\displaystyle{\frac{0}{0}}$

ใช้ทฤษฎีบทของโลปิตาลทำการดิฟบนดิฟล่างและจัดรูปจะได้ว่า (ขอข้ามขั้นตอนหน่อยนะครับ จัดรูปไม่ยากมากแต่อาจจะถึกสักหน่อย)

$$\displaystyle{\lim_{x \to \infty} x\left(\,\arctan\left(\,\frac{x+1}{x+2}\right)-\arctan\left(\,\frac{x}{x+2}\right) \right) } = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x^4-3x^3}{(2x^2+5x+4)^2+(x+2)^2}=-\frac{1}{2}$$

ไม่ค่อยแน่ใจเหมือนกัน ผิดขออภัยครับ

น่าจะ $\dfrac{1}{2}$ นะครับ