[Beatmania]

ลองมาฟังนิทานกันครับ

พิจารณางานปาร์ตี้ที่มีคน $n$ คน ในนั้นมี I,J อยู่ด้วย

พิธีกรจะเชิญคน $k$ ออกมาเต้นรำในคืนพระจันทร์เต็มดวง

พิธีกรมั่นใจแน่นอนว่า เขามีวิธีเชิญทั้งหมด $\binom{n}{k}$ วิธี

แต่เนื่องจาก I,J เป็นคู่รักกัน เขาจึงกลับมามองต่างมุม โดยพิจารณาในกรณีต่างๆ คือ

1.) เชิญมาทั้งสองคน พิธีกรจะต้องเชิญคน $k-2$ คนจากที่เหลือ $n-2$ คน คิดเป็น $\binom{n-2}{k-2}$ วิธี

2.) เชิญมาแค่คนเดียว พิธีกรเลือกระหว่าง I,J ได้ $2$ วิธี

และพิธีกรจะต้องเชิญคน $k-1$ คนจากที่เหลือ $n-2$ คน คิดเป็น $\binom{n-2}{k-1}$

รวมเป็น $2\binom{n-2}{k-1}$ วิธี

3.) ไม่เชิญมาทั้งสองคน พิธีกรจะต้องเชิญคน $k$ คนจากที่เหลือ $n-2$ คน คิดเป็น $\binom{n-2}{k}$

รวมแล้วได้ $\binom{n-2}{k-2}+2\binom{n-2}{k-1}+\binom{n-2}{k}$

ซึ่งเท่ากับที่เขาเคยคิดในตอนแรก ดังนั้นแล้ว พิธีกรจึงได้เอกลักษณ์

$$\binom{n}{k}=\binom{n-2}{k-2}+2\binom{n-2}{k-1}+\binom{n-2}{k}$$

ตามต้องการ #