ยังไม่มีใครตอบข้อ11เลย...ตอบตอนนี้ช้าไปรึป่าวครับ เหอๆ
ไม่ค่อยมั่นใจฝากเช็คให้ด้วยครับ
ใช้ ทฤษฎีบท ceva กับ $\bigtriangleup AFE$ จะได้
$\frac{AB}{BF} \bullet \frac{FD}{DE} \bullet \frac{EC}{AC} = 1$
ดังนั้น$ \frac{FD}{DE} = \frac{BF}{EC} \bullet \frac{AC}{AB} $
จากฏของsine ใน $\bigtriangleup BFK $ได้ว่า
$\frac{BF}{FK} = \frac{sinFKB}{sinB}$ _(1)
ในทำนองเดียวกัน$ \frac{EC}{EK} = \frac{sinEKC}{sinC}$ _(2)
และ$\frac{AC}{AB}=\frac{sinB}{sinc}$ _(3)
$\frac{(1)}{(2)}\times (3);\frac{FD}{DE} = \frac{BF}{EC} \bullet \frac{AC}{AB} = \frac
{FK}{EK} \bullet \frac{sinBKF}{sinEKC} $ _(4)
DK แบ่งครึ่งมุม EKF $\Leftrightarrow มุม FKB = มุม EKC$
สมมติขัดแย้งว่า $มุม FKB\not= มุม EKC$
WLOG;$ มุมFKB>มุมEKC \Rightarrow มุมDKE> มุมFKD
และ จาก (4); \frac{FD}{DE}>\frac{FK}{EK}$
ใน$\bigtriangleup KDE และ\bigtriangleup FKD $ใช้กฏของ sine
แล้วเราจะได้ว่า$ \frac{sinDKE}{sinFKD}=\frac{DE}{EK} \frac{FK}{DF} >1$
นั่นคือ $ \frac{FD}{DE}<\frac{FK}{EK}$ เกิดข้อขัดแย้ง
$\therefore DKแบ่งครึ่งมุมEKF$