กฎของคราเมอร์ก็สามารถพิสูจน์ ให้พอเข้าใจได้ง่ายๆนะครับ.......
กฎของคราเมอร์ ใช้ในการแก้ระบบสมการเชิงเส้นหลายตัวแปร โดยวิธีเมทริกซ์
ยกตัวอย่างเช่น ระบบสมการเชิงเส้น3ตัวแปร $x,y,z$
$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1}..............(1)$
$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}..............(2)$
$a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z=d_{3}..............(3)$
รากของสมการก็คือ............
$x=\frac{\vmatrix{d_{1}&b_{1}&c_{1}\\ d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}} }{\vmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} },
y=\frac{\vmatrix{a_{1}&d_{1}&c_{1}\\ a_{2}&d_{2}&c_{2}\\a_{3}&d_{3}&c_{3}} }{\vmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} },
z=\frac{\vmatrix{a_{1}&b_{1}&d_{1}\\ a_{2}&b_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&d_{3}} }{\vmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} }$
ก่อนอื่นเขียนสมการเมทริกซ์แทนระบบสมการได้คือ..........
$\bmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} \bmatrix{x\\y\\z} =\bmatrix{d_{1}\\d_{2}\\d_{3}}$
ดัดแปลงสมการเมทริกซ์จาก $3x1$ ให้เป็น $3x3$.........(ต้องอาศัยการมอง%%%สักหน่อย)
$\bmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} \bmatrix{x&0&0\\y&1&0\\z&0&1} =\bmatrix{d_{1}&b_{1}&c_{1}\\d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}}$
ใส่ $det()$ ทั้ง2ข้าง.........
$\vmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} \vmatrix{x&0&0\\y&1&0\\z&0&1} =\vmatrix{d_{1}&b_{1}&c_{1}\\d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}}$
ซึ่งก็คือ............
$\vmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} (x)=\vmatrix{d_{1}&b_{1}&c_{1}\\d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}}$
สรุป......
$x=\frac{\vmatrix{d_{1}&b_{1}&c_{1}\\ d_{2}&b_{2}&c_{2}\\d_{3}&b_{3}&c_{3}} }{\vmatrix{a_{1}&b_{1}&c_{1}\\ a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}} }$
ค่า $y,z$ ก็ทำแบบเดียวกันครับ
