[Thgx0312555]

ดังนั้นมาคิด Sol ใหม่กันดีกว่า
(ไม่ต้องสงสัยว่าทำไมยาว เขียนละเอียดมากกก)

เราจะสามารถแบ่งได้เป็นสองกรณี

กรณีแรก

$x^2+ax+b=(x+r)(x+\alpha)$
$x^2+bx+c=(x+r)(x+\beta)$
$x^2+cx+a=(x+r)(x+\gamma)$
โดยที่ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq \alpha$

ดังนั้นจะได้ว่า
$a=r+\alpha=r\gamma \quad (1)$
$b=r+\beta=r\alpha \quad (2)$
$c=r+\gamma=r\beta \quad (3)$

$(1)-(2); \quad \alpha-\beta=r(\beta-\gamma)$
$(2)-(3); \quad \beta-\gamma=r(\gamma-\alpha)$
$(3)-(1); \quad \gamma-\alpha=r(\alpha-\beta)$

นำสมการทั้งสามคูณกัน; จาก $\alpha,\beta,\gamma$ เป็นค่าแตกต่างกัน จะได้ $r=1$

นำไปแทนใน $(1),(2),(3)$ จะได้ $\gamma=1+\alpha=2+\beta=3+\gamma$ เกิดข้อขัดแย้ง

ดังนั้นกรณีนี้จึงไม่เกิดขึ้นครับ (ในเฉลยคือละกรณีนี้ทิ้งดื้อๆเลย)

กรณีที่สอง

$x^2+ax+b=(x+\alpha)(x+\beta)$
$x^2+bx+c=(x+\beta)(x+\gamma)$
$x^2+cx+a=(x+\gamma)(x+\alpha)$
โดยที่ $\alpha \neq \beta \neq \gamma \neq \alpha$

ดังนั้นจะได้ว่า
$a=\alpha+\beta=\gamma\alpha \quad (1)$
$b=\beta+\gamma=\alpha\beta \quad (2)$
$c=\gamma+\alpha=\beta\gamma \quad (3)$

$(2)-(1); \quad \gamma-\alpha=\alpha(\beta-\gamma)$
$(3)-(2); \quad \alpha-\beta=\beta(\gamma-\alpha)$
$(1)-(3); \quad \beta-\gamma=\gamma(\alpha-\beta)$

นำสมการทั้งสามคูณกัน; จาก $\alpha,\beta,\gamma$ เป็นค่าแตกต่างกัน จะได้ $\alpha\beta\gamma=1$

จัดรูป $(1),(2),(3)$ ใหม่ จะได้
$\beta=\gamma(\alpha-1)$
$\gamma=\alpha(\beta-1)$
$\alpha=\beta(\gamma-1)$

นำสมการทั้งสามคูณกัน (สามารถตรวจสอบได้ว่า $\alpha,\beta,\gamma \neq 0$) จะได้
$(\alpha-1)(\beta-1)(\gamma-1)=1$
$-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)+(\alpha+\beta+\gamma)=1 \quad (4)$

แต่จาก $(1)+(2)+(3); \quad 2(\alpha+\beta+\gamma)=\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha \quad (5)$

จาก $(4),(5)$ จะได้ $\alpha+\beta+\gamma=-1$

$\frac{(1)}{\alpha}+\frac{(2)}{\beta}+\frac{(3)}{\gamma}; \quad 3+\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\alpha}{\gamma}=\alpha+\beta+\gamma$

$\therefore \alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha=\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\alpha}{\gamma}=-4 \quad (6)$

$\frac{(1)}{\gamma}+\frac{(2)}{\alpha}+\frac{(3)}{\beta};$ $\quad (\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\gamma}{\beta}+\frac{\alpha}{\gamma})+$ $(\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha})$ $=\alpha+\beta+\gamma$

$\therefore \alpha\beta^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2=\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\gamma}+\frac{\gamma}{\alpha}=3 \quad (7)$

$(1)\beta^2+(2)\gamma^2+(3)\alpha^2; \quad (\alpha\beta^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2)+(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)=\alpha+\beta+\gamma$

$\therefore \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=-4 \quad (8)$

จาก $(6),(7),(8); a^3+b^3+c^3=(\alpha+\beta)^3+(\beta+\gamma)^3+(\gamma+\alpha)^3$
$=2(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3)+3(\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha)+3(\alpha\beta^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2)$
$=2(-4)+3(3)+3(-4)=-11$