[Beatmania]

เพื่อความสะดวก กำหนดให้สัญลักษณ์ $a\equiv_n b$ หมายถึง $a\equiv b (mod n)$

สมมติขัดแย้ง โดยให้ $n|a_k(a_1-1)$ เราจะได้ว่า

$$a_1a_2...a_k\equiv_n a_1a_2...(a_{k-1}a_k)\equiv_n a_1a_2...a_{k-1} \equiv_n ... \equiv_n a_1 $$

แต่ในทำนองเดียวกัน

$$a_1a_2...a_k\equiv_n a_2a_3...(a_ka_1)\equiv_n a_2a_3...a_k \equiv_n a_2a_3...(a_{k-1}a_k) \equiv_n a_2a_3...a_{k-1} \equiv_n ... \equiv_n a_2 $$

ได้ว่า $a_1 \equiv_n a_2$ ขัดแย้งกับที่ $a_1,a_2\in (1,2,...,n) $ และ $a_1\neq a_2$

ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่ $n|a_k(a_1-1)$