[<KAB555>]

ขอเสนอแนะวิธีพิสูจน์ข้อ 9 ค่ะ [เจอจาก หนังสือคณิตศาสตร์ปรนัย เล่มอสมการ] เผื่อจะเป็นประโยชน์ค่ะ

(ก) $(2n+1)^n>(2n)^n+(2n-1)^n$ ทุกจำนวนเต็มบวก n ที่มากกว่าหรือเท่ากับ 3
จะพิสูจน์ว่า $(2n+1)^n-(2n-1)^n>(2n)^n$
จาก $(2n+1)^n-(2n-1)^n $
$= \sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k} (2n)^{n-k}-\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k} (2n)^{n-k}(-1)^k$
$=\sum_{k = 0}^{n}\binom{n}{k} (2n)^{n-k}(1-(-1)^k)$
$=\binom{n}{0} (2n)^n(1-1)+\binom{n}{1} (2n)^{n-1}(1+1)+\binom{n}{2} (2n)^{n-2}(1-1)+\binom{n}{3} (2n)^{n-3}(1-1)+...$
$=\binom{n}{1} (2n)^{n-1}(2)+\binom{n}{3} (2n)^{n-3}(2)+...$
$>\binom{n}{1} (2n)^{n-1}(2)$
$=(2n)^n$

(ข) $x^6+2\geqslant x^4+2x$ ทุกจำนวนจริง x
เพราะว่า $x^6+2\geqslant x^4+2x$ จัดรูปใหม่ได้เป็น $x^6-x^4-2x+2\geqslant 0$ แยกตัวประกอบจะได้ เท่ากับ $(x-1)(x^5+x^4-2)\geqslant 0$
จากนั้นก็แบ่งกรณีค่ะ $x\leqslant -1 , -1<x<1 , x\geqslant 1$ จะพบว่า $x^6-x^4-2x+2\geqslant 0$ ทั้ง 3 กรณีค่ะ