หัวข้อ: Calculus Marathon (2)
ดูหนึ่งข้อความ
  #52  
Old 28 เมษายน 2007, 12:12
Timestopper_STG's Avatar
Timestopper_STG Timestopper_STG ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 22 มกราคม 2006
ข้อความ: 256
Timestopper_STG is on a distinguished road
Send a message via MSN to Timestopper_STG
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Timestopper_STG View Post
74.จงหาค่าของ$\displaystyle{\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{-t}-2e^{-3t}+e^{-5t}}{t^2}dt}$
At first we observe that $\displaystyle{\frac{1}{t^2}=\int_0^{\infty}xe^{-tx}dx}$
$\displaystyle{\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{-t}-2e^{-3t}+e^{-5t}}{t^2}dt}$
$\displaystyle{=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}xe^{-tx}\left(e^{-t}-2e^{-3t}+e^{-5t}\right)dxdt}$
$\displaystyle{=\int_0^{\infty}x\int_0^{\infty}e^{-(1+x)t}-2e^{-(3+x)t}+e^{-(5+x)t}dtdx}$
$\displaystyle{=\int_0^{\infty}\left[\left(\frac{x}{1+x}\right)-2\left(\frac{x}{3+x}\right)+\left(\frac{x}{5+x}\right)\right]dx}$
$\displaystyle{=\int_0^{\infty}\left[\left(1-\frac{1}{1+x}\right)-2\left(1-\frac{3}{3+x}\right)+\left(1-\frac{5}{5+x}\right)\right]dx}$
$\displaystyle{=\int_0^{\infty}\left[-\frac{1}{1+x}+\frac{6}{3+x}-\frac{5}{5+x}dx\right]}$
$\displaystyle{=\left[\ln\left(\frac{(3+x)^6}{(1+x)(5+x)^5}\right)\right]_0^{\infty}=\ln\left(\frac{5^5}{3^6}\right)}$
Don't be surprise why a "ลมปราณบริสุทธิ์" man can solve this question with a beautiful method.
Because I have just copied this from the other place.
__________________
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x-b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$
BUT
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{a\cos x+b\sin x}{a\sin x+b\cos x}dx=\frac{\pi ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}\ln\left(\frac{a}{b}\right)$$

28 เมษายน 2007 12:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Timestopper_STG
เหตุผล: พิมพ์ผิด-*-
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้