Lemma generalized Schur inequality / Vornicu-Schur inequality
(จาก
http://www.mathlinks.ro/Forum/viewto...=156212#156212)
ให้ $a,b,c,x,y,z$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบและ $a \leq b \leq c,x\geq y\geq z$ จะได้ว่า
\[a(x-y)(x-z)+b(y-z)(y-x)+c(z-x)(z-y) \geq 0\]
พิสูจน์
\[\begin{array}{rcl} a(x-y)(x-z)+z(z-x)(z-y) &=& a(x-y)(x-z)+z(x-z)(y-z) \\
&\geq& (a+c)(min(x-y,y-z))(x-z) \\
&\geq& b(min(x-y,y-z))(max(x-y,y-z)) \\
&=& b(x-y)(y-z) \\
\end{array}\]
\[a(x-y)(x-z)+b(y-x)(y-z)+z(z-x)(z-y) \geq 0\]
กลับมาที่โจทย์นะครับ ^^
สมมติให้ $x \geq y \geq z$
ใช้ Power Mean Inequality จะได้ว่า
\[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\sum_{cyc} \frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}}-1 &=& \sum_{cyc} \left(\frac{x^2+yz}{x(y+z)}\right)\left(\sqrt{\frac{y+z}{2}}\right)-1 \\
&\geq& \sum_{cyc} \left(\frac{x^2+yz}{x(y+z)}\right)\left(\frac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2}\right)-1 \\
&=& \sum_{cyc} \frac{1}{2}\left[\left(\frac{x^2+yz}{x(y+z)}\right)\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)-\left(\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)\right] \\
&=& \sum_{cyc}\left(\frac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2x(y+z)}\right)(x-y)(x-z)
\end{array}\]
ให้ $a=\frac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2x(y+z)},b=\frac{\sqrt{z}+\sqrt{x}}{2y(z+x)},c=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{2z(x+y)}$
เนื่องจาก $\sqrt{y}+\sqrt{z} \leq \sqrt{z}+\sqrt{x} \leq \sqrt{x}+\sqrt{y}$ และ $2x(y+z) \geq 2y(z+x) \geq 2z(x+y)$
ดังนั้น $a \leq b \leq c$
จาก
Lemma จะได้ว่า \[\begin{array}{rcl} \displaystyle{\sum_{cyc}\left(\frac{\sqrt{y}+\sqrt{z}}{2x(y+z)}\right)(x-y)(x-z)} &\geq& 0 \\
\displaystyle{\sum_{cyc} \frac{x^2+yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}} &\geq& 1 \\
\end{array} \]
ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับ generalized Schur inequality / Vornicu-Schur inequality ครับ